河南近几年中考数学第23题23.（11分）（2016河南） 如图1，直线y=-43x+n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，4）抛物线y=23x 2+bx+c 经过点A,交y 轴于点B （0,-2）.点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D,连接PB.（1）求抛物线的解析式.（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长.（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD /P /，且∠PBP /=∠OAC ，当点P 的对应点P /落在坐标轴上时，请直接写出P 点的坐标.解：（1）由y=-43x+n 过点C （0，4），得n=4，则y=-43x+4 当y=0时，得-43x+4=0，解得：x=3，∴点A 坐标是（3,0）…………………………………………………1分 ∵y=23x 2+bx+c 经过点A （3,0）, B （0,-2） ∴22033b+c 32c ⎧=⨯+⎪⎨⎪-=⎩，解得：4b 3c 2⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式是23x 2-43x-2……………………………………………3分 （2）∵点P 的横坐标为m ，∴P （m ，23m 2-43m-2），D （m ，-2）…………4分若△BDP 为等腰直角三角形时，则PD=BD; ①当点P 在直线BD 上方时，PD=23m 2-43m-2+2=23m 2-43m ， （ⅰ）若P 在y 轴左侧，则m ＜0，BD=-m ；图1备用图∴23m2-43m=-m，解得：m=12或m=0（舍去）…………………………………5分（ⅱ）若P在y轴右侧，则m＞0，BD=m；∴23m2-43m=m，解得：m=72或m=0（舍去）…………………………………6分②当点P在直线BD下方时，PD=-2-(23m2-43m-2) =-23m2+43m，则m＞0，BD=m；∴-23m2+43m=m，解得：m=12或m=0（舍去）……………………………7分综上：m=72或m=12。

即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为72或12。

(3) PP）或P（258，1132）【提示】∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠PBP/=45，cos∠PBP/=35，①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD于点M，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,如图1，ND/-MD/=2,即35×(23m2-43m)-（-45m）=2如图2，ND/-MD/=2，即35×(23m2-43m)-（-45m）=2解得：P或P，43-）②当点P/落在y轴上时，如图3，过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M，过点P/作P/N⊥y轴，交MD/的延长线于点N，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,图2图3∵PN=BM,即 45×(23m 2-43m)= 35m ∴P （258，1132）23.（11分）（2015河南）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A,C 间的一个动点（含端点）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D,E 的坐标分别是（0，6），（-4，0），连接PD,PE,DE.(1)直接写出抛物线的解析式.（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值.进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，且存在多个“好点”， 且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标.则PF=8-(21- x +88)=21x 8…………………………………………………4分过P 作PM ⊥y 轴于点M ，则PD 2=PM 2+DM 2=(-x)2+2216--x +88⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=4211x +x +4642=221x +28⎛⎫⎪⎝⎭∴PD=21x 8+2, …………………………………………6分∴PD-PF=21x 8+2-21x 8=2, ∴猜想正确. …………………………………………7分 (3)“好点”共有11个。

……………………………………9分 当点P 运动时，DE ∴PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小。

∵PD-PF=2,∴PD=PF+2, ∴PE+PD=PE+PF+2,当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小。

此时点P 、E 的横坐标是-4， 将x=-4代入y=21-x +88，得y=6. ∴P （-4，6），此时△PDE 的周长最小， 且△PDE 的面积是12，点P 恰为“好点”。

∴△PDE 的周长最小时“好点”的坐标是（-4，6）。

……………………………11分提示：直线ED 的解析式是y=32x+6，设P （x ，21- x 8，2x+6则PN=21- x +88-（2x+6- x x+282-△ PDE 的面积S=2×4×（2- x x+282-）=2-x -3x+44=()-x+6+134，由-8≤x ≤0，知4≤S ≤13，所以S 的整数值有10个，由图像可知，当S=12时，对应的“好点”有2个， 所以“好点”共有11个。

23.(11分）（2014河南）如图，抛物线y=－x 2+bx+c 与x 轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=－34x+3与y 轴交于点C ，，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m 。

（1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF,求m 的值； （3）若点E /是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ，使点E /落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

23.（2014河南）(1)∵抛物线y=－x 2+bx+c 与x 轴交于A (-1,0) , B(5,0)xy C AOBEDFP谷瑞林画图xy NF C A OBEDPE F ABDCOPyX∴220=1b+c0=55b+c⎧---⎨-+⎩（）∴b=4c=5⎧⎨⎩∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5．………………………………………………3分（2）点P横坐标为m，则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－34m+3)，F(m,0),∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴0＜m＜5.PE=-m2＋4m＋5－(-34m＋3)= -m2＋194m＋2……………………………4分分两种情况讨论：①当点E在点F上方时，EF=－34m＋3.∵PE=5EF，∴-m2＋194m＋2=5(-34m＋3)即2m2－17m＋26=0，解得m1=2，m2=132（舍去）………………………………6分②当点E在点F下方时，EF=34m－3.∵PE=5EF，∴-m2＋194m＋2=5(34m－3)，即m2－m－17=0，解得m3=169+，m4=169-（舍去），∴m的值为2或1692+………………………………………………………………8分(3),点P的坐标为P1(-12，114),P2(4，5), P3(3-11，211-3).……………………11分【提示】∵E和E/关于直线PC对称，∴∠E/CP=∠ECP;又∵PE∥y轴，∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC,又∵CE＝CE/，∴．四边形PECE/为菱形．过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD，∴CE=5m 4.∵PE=CE,∴-m2＋194m＋2=54m或-m2＋194m＋2=-54m，解得m1=-12，m2=4，m311m411（舍去）可求得点P的坐标为P1(-12，114),P2(4，5), P311，11-3)。

23.（11分）（2013河南）如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.（3）若存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标.备用图OP BDCA xy23（11分）（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线23y ax bx =+-交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 做x 直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a ，b 及sin ACP ∠的值； （2）设点P 的横坐标为m ，①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在合适的m 的值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．23．（2012河南）解：（1）由110,2,(2,0)2x x A +==--得∴． ∵y =ax 2+bx -3经过A 、B 两点，设直线AB 与y 轴交于点E ，则E （0,1）． ∵PC ∥y 轴，∴∠ACP =∠AEO ．∴sin ∠ACP =sin ∠AEO=..................................................45OA AE ． （分）（2）①由（1）知，抛物线的解析式为211322y x x =--．在Rt △PCD 中，sin PD PC ACP =⋅∠113,4,(4,3)2x x B +==由得∴．22(2)230,11,....................................................3224433a b a b a b ⎧-⋅--=⎪==-⎨⋅+-=⎪⎩∴ ∴． （分）．2111(,3),(,1)222P m m m C m m --+∴．2211111(3)4 (62222)PC m m m m m =+---=-++． （分）221(4)2(1)5m m m =-++⨯=--+0,1 (855)m PD -=∵∴当时，有最大值 （分）②存在满足条件的m 值．53229m =或．………（11分） 【提示】如图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为F 、G ． 在Rt △PDF 中，DF =211(28)55PD m m =---．又BG =4-m ,23.（11分）（2011河南）如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方．．的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E .①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值；②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG .随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标.23.（2011河南）（1）对于3342y x =-，当y =0，x =2.当x =-8时，y =-152. ∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15(8,).2--………………………1分由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得012,15168.2b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩ 解得235135..42442b c y x x =-=∴=--+，…………………………………………3分 GFOPBDC Axy21(28)2545295,510221032,599PCD PBC PCD PBC PCD PBC m m S DF m S BG m S m m S S m m S ∆∆∆∆∆∆---+===-+===+===∴．当时解得；当时解得．（2）①设直线3342y x =-与y 轴交于点M 当x =0时，y =32-. ∴OM =32.∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2.∴AM =225.2OA OM +=……………………4分 ∵OM ：OA ：AM =3∶4：5.由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ～△PED . ∴DE ：PE ：PD =3∶4：5.…………………………………………………………………5分 ∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点， ∴PD =y P -y D213533()()44242x x x =--+--=213444x x --+.………………………………………………………………………6分∴21213(4)542l x x =--+231848.555x x =--+…………………………………………………………………7分23(3)15.315.5l x x l ∴=-++∴=-=最大时，……………………………………8分②满足题意的点P 有三个，分别是12317317(,2),(,2),22P P -+-- 3789789(P -+-+……………………………………………………………11分 【解法提示】当点G 落在y 轴上时，由△ACP ≌△GOA 得PC =AO =2，即21352442x x --+=，解得317x -±=，所以123173172),2).P P -+-- 当点F 落在y 轴上时，同法可得3789789P -+-+，4789789(P ----（舍去）. 23．（11分）（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．MCBAOxy。