在以前信息集的条件下，某一时刻的残差服从正态分布，而且该正 态分布的均值为零。又方差是一个随时间变化的量——条件异方差, 并且这个随时间变化的方差是过去有限项残差项平方的线性组合— —自回归形式。
ARCH模型的结构
称为ARCH项，在 EVIEWS中用ARCH(i) 或RESID(-i)^2表示
结论：
残差平方具有 相关性，即残 差具有异方差
残差的异方差检验(2)
方法二：ARCH LM 检验
检验时要求输入ARCH检验的滞后阶数，这可以从前面的 残差平方序列的相关图得到一点信息。
结论：拒绝原假设，残差具有异方差 应建立异方差模型，把刚才建立的模型修正一下
异方差模型
均值方程：与刚 才的模型一样
解析法
第二节 条件异方差模型
条件异方差模型
ARCH模型 GARCH模型 异方差模型的推广形式
GARCH-M模型 TARCH模型 EGARCH模型
ARCH模型
ARCH模型的全称：自回归条件异方差模型(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model)
EViews5的对话框
非对称ARCH模型
模型背景：
对于资产而言，在市场中我们经常可以看到向下运动通 常伴随着比同等程度的向上运动更强烈的波动性。
为了解释这一现象，Engle(1993)描述了如下形式的对好 消息和坏消息的非对称信息曲线：
波动性
0
信息
非对称ARCH模型
模型分类：
TARCH模型 EGARCH模型
异方差的分类
异方差一般可分为以下三种类型：
单调递增型，单调递减型，复杂型。
方差齐性残差图
递增型异方差残差图Βιβλιοθήκη 异方差的检验 图示法
残差图检验法：以时间t为横轴，残差εt为纵轴，画出 散点图，观察残差是否具有趋势性或周期性.
残差平方图检验法：E(εt2)=σε2，以时间t为横轴，残差 平方εt2为纵轴，画出散点图，观察残差是否具有趋势 性或周期性.

t ht et ,
et
i.i.d. N 0,1

ht
0

1
2 t 1
1ht1
其中0 0,1 0, 1 0,1 1 1
GARCH-M模型
金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以 获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金 融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预 期的收益就越高。
Xt f t, Xt1, Xt2, ln ht t



t

ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht 0
q

i
2 t i

p
j ht j

i 1
j 1
GARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密 相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量.
异方差检验(ARCH 检验)
对模型的残差进行异方差检验，确定是否 需要建立异方差模型
主要方法：
ARCH LM 检验 残差平方相关图检验
ARCH LM 检验
Engle(1982)提出对残差中自回归条件异方差进行拉格朗 日乘数检验(Lagrange multiplier test)，即 LM检验。
这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为依均 值GARCH (GARCH-in-mean，简称GARCH-M)模型， 在GARCH-M中我们把条件方差函数引进到均值方程 中。
GARCH-M模型
q
p
ht 0

i
2 t i

jht j g ht
i 1
j 1

q

0

i 1


i
t i
ht i
i
t i
ht i



p
j
j 1
log
ht j
EGARCH(1,1)模型
log ht
0
t 1
ht 1

t1 log
ht 1
ht 1
说明：
在这个模型中，εt >0和εt< 0对条件方差有不同影响：好消息
i.i.d. N 0,1
ht 0
q

i
2 t i

p

hj t j


d 2
t 1 t
1
其中dt

1 0

i 1
j 1
t 0 t 0
TARCH项
TARCH模型
TARCH(1,1)模型结构：
ht
0


2 t 1
ht1


d 2



t

ht et , et
i.i.d. N 0,1
ht 0
q

i
2 t i

p
j ht j

i 1
j 1
当p=0时，
GARCH(0,q) 即为ARCH(q)
q
p
其中p 0, q 0,0 0,i 0, j 0, i j 1
i 1
j 1
p是GARCH 项的阶数，q是ARCH 项的阶数
i
2 t i
称为ARCH
项，
i
在EVIEWS中用RESID

i

2表示
jht j称为GARCH项， j在EVIEWS中用GARCH j 定义
GARCH(1,1)模型
Xt f t, Xt1, Xt2 , t
主要有三种形式：
把条件方差引进到均值方程中
X t f t, X t1, X t2 , ht t



t

ht et , et
i.i.d. N 0,1


ht
0

q

i
2 t i

p
j ht j

i 1
j 1
GARCH-M模型
第七章 波动率模型
第七章 波动率模型
背景：
大量的经济和金融时间序列呈现出了随时间变化的 波动性，即时间序列二阶矩的时变性。
近20年来，描述金融市场波动性的模型---自回归异 方差模型(ARCH模型)。
内容：
第一节 异方差的定义与检验 第二节 条件异方差模型
第一节 异方差的定义与检验
异方差的定义
ARMA,ARIMA和SARIMA等模型对残差有以下假定：
零均值：Eεt=0 纯随机性：Cov(εs, εt)=E(εsεt)=0，(t≠s) 方差齐次性： Var(εt)=σε2
异方差的定义
随机误差序列的方差不是常数，会随着时间的变化而变化
异方差的影响
忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而 参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检 验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。
把条件方差的标准差 引进到均值方程中
把条件方差的对数形 式引进到均值方程中


X
t

f
t, X t1, X t2 ,

ht t


t

ht et , et
i.i.d. N 0,1

ht 0
q
i
2 t i

p
j ht j

i 1
j 1
t 1 t
1
,
其中dt
1 0
说明：
t 0 t 0
在这个模型中，好消息(εt>0)和坏消息(εt<0)对条件方差有
不同影响：好消息有一个 的冲击；坏消息有一个+φ 的
冲击。
如果φ 0，则信息是非对称的，如果φ > 0 ，我们说存在杠 杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 φ < 0 ，则非对称效应的作用是使得波动减小。
Xt f t, Xt1, Xt2 , t

t ht et , et
i.i.d. N 0,1

ht
0

1
2 t 1


2
2 t2



q
2 tq
均值方程 方差方程
ht为条件异方差,0 0,i 0,1 2 q 1
EViews5的对话框
ht
0


2 t 1
ht1
t21dt1
ht

0.037

0.24


2 t 1
0.956 ht1

0.399


d 2
t1 t
1
结果表中的
(RESID)*ARCH(1) 项是公式中的φ， 也称为TARCH项。
在上式中，非对 称项TARCH的系 数φ=-0.3999，且 显著不为零。
Xt Xt1 t 即Xt Xt1 t
接下去：看一下是 否需要建异方差模 型？
建随机游走模型
可作Xt关于Xt-1 的线性回归
然后进行残差 检验：
纯随机性检验 异方差检验
(有两种方法)
残差的纯随机性检验
结论：残差为 纯随机序列
残差的异方差检验(1)