《平面向量》单元测试卷A （含答案）
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ）
A 、A
B BA -→
-→
与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零；
D 、共线的单位向量都相等。

2．||||a b a b a b →
→
→
→
→
→
>若是任一非零向量，是单位向量；①；②∥；
||0||1||
a
a b b a →
→→
→
→
>=±=③；④；⑤
，其中正确的有（
）
A 、①④⑤
B 、③
C 、①②③⑤
D 、②③⑤
3．0a b c a b c a b c →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
++=设，，是任意三个平面向量，命题甲：；命题乙：把，，
首尾相接能围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、非充分也非必要条件
4．AD -→
下列四式中不能化简为的是（
）
A 、A
B CD B
C -→
-→
-→
++（）
B 、AM MB B
C C
D -→
-→
-→
-→
+++（）（）
C 、AC AB A
D CB -→
-→
-→
-→
++-（）（） D 、OC OA CD -→
-→
-→
-+
5．）
，则（
），（，），（设21b 42a -=-=→
→ A 、共线且方向相反与→
→b a
B 、共线且方向相同与→
→b a
C 、不平行与→
→
b a D 、是相反向量与→
→
b a
6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ）
A 、→-→
-=BE 3
2BG B 、→-→
-=AG 2
1DG C 、→
-→--=FG 2CG D 、→
-→
-→
-=+BC 2
1FC 3
2DA 3
1
7．
）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 4
1
cos 1b cos 12a
A 、4
π
B 、
6
π
C 、3
π
D 、
3
6ππ或 8．）
所成的比是（
分，则所成比为分若→
-→--CB A 3AB C A 、2
3
- B 、3 C 、3
2- D 、-2
9．）
的范围是（
的夹角与，则若θ→
→→→<⋅b a 0b a A 、)2
0[π
，
B 、)2
[ππ
，
C 、)2
(ππ
，
D 、]2
(ππ
，
10．→
→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设 的模之比值为（ ） A 、4
3
B 、3
4
C 、7
3
D 、7
4
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
图1
11．。

的取值范围是都是单位向量，则与若_________|b a |b a →
→→→-
12．。

表示和，则用中，△_________AD AC AB BC 3
1BD ABC ==
→-→-→-→
-→
- 13．，则，和，两点的坐标分别为、相等，且与，若，设)23()21(B A AB a )4y 3x 3x (a →
-→→--+=
x= 。

14．。

，则，是共线向量，与设_________b a 5|b |3|a |b a →
→→→→→⋅==
三、解答题：本题共4小题，每题10分，共40分
15．已知),sin 32),4
(cos(),cos ),4sin(
2(x x x x -=-=π
π
记x f •=)(.
（1）求)(x f 的周期和最小值；
（2）若)(x f 按m 平移得到x y 2sin 2=，求向量m .
16．已知、是两个不共线的向量，且=（cos α，sin α）,=（cos β，sin β） （Ⅰ）求证：+与－垂直；
（Ⅱ）若α∈（4
,
4π
π-），β=4
π
，且|a +|=
5
16
，求sin α. 17．设12121211222，32，其中且 1.a e e b e e e e e e e e →→→→→→
→
→
→
→
→
→
=+=-+⊥⋅=⋅=
（1）计算||的值；a b →
→
+
（2）当为何值时与3互相垂直？k k a b a b →
→
→
→
+-
18．已知向量a →＝(cos 32x ，sin 32x )，b →＝(cos x 2，－sin x 2)，其中x ∈[0，π2
]
(1)求a →·b →及|a →＋b →|；(2)若f (x )＝a →·b →－2λ|a →＋b →|的最小值为－3
2，求λ的
值
参考答案
一、1．D 2．B
3．B
4．C 5．A
6．B 7．A 8．A 9．D 10．A
二、11．［0，2］ 12．
→→→
+=
AC 3
1AB 32AD 13．-1 14．±15
三、15．
16．解：（1）∵a =（4cos α，3sin α），b =（3cos β，4sin β）
∴||=||=1
又∵（+）·（－）=2－2=||2－||2=0
∴（a +b ）⊥（a －b ）
（2）|a +b |2=（a +b ）2=|a |2+|b |2+2a ·b =2+2·a ·b =
5
16
又·=（cos βαβαsin sin cos +）=5
3
∴5
3)cos(=-βα∵)4,4(π
πα-∈∴2
π
-
＜βα-＜0 ∴sin（βα-）=5
4-∴sin ])sin[(ββαα+-=
=sin （βα-）·cos ββαβsin )cos(⋅-+
=10
2
22532254-
=⨯+⨯
- 17．解：
.
19k 0133k 31k 50b 3a b a k 1
43e 2e 3e 2e b a 13
e 2e 3b 5
e 2e a
b
3b a k 31a
k b 3a b a k 2.
5220|b a |20
|b a |.
1|e ||e |.0e e .1e e e e e e e 16e e 16e 4e 4e 2|b a |1212122122
212
2
22
21212221212
2
212
12
212
==⨯--+=-⋅+∴=+-=+-⋅+=⋅=+-==+=-⋅-+=-⋅+==+∴=+∴===⋅∴=⋅=⋅⊥+⋅-=+-=+→
→
→
→
→
→
→
→→
→→
→
→
→
→
→→
→
→→→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→→
→
→
→→
→
→
→
→→
→
→
→
→
得）（即）（）由（）（）（）（）（又）（）（）（）（，又）（）（ΘΘ
18．解：(1)a →·b →＝cos 32xcos x 2－sin 32xsin x 2
＝cos 2x ，|a →＋b →|＝2＋2cos 2x ＝2cosx
(2)f (x )＝a →·b →－2λ|a →＋b →|＝cos 2x －4λcosx ＝2cos 2x －1－4λcosx ＝2(cosx －
λ)2－2λ2－1
注意到x ∈[0，π2
]，故cosx ∈[0，1]，若λ＜0，当cosx ＝0时f (x )取最小值－1。

不合条件，舍去.若0≤λ≤1，当cosx ＝λ时，f (x )取最小值－2λ2－1，令－2λ2－1
＝－32且0≤λ≤1，解得λ＝1
2，若λ＞1，当cosx ＝1时，f (x )取最小值1－4λ，令
1－4λ＝－32且λ＞1，无解综上：λ＝1
2
为所求.。