练习（第二章）参考答案：
一.判断题（每小题2分）
1. 集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ）
2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ）
3. 实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ）
4. 「、T2是X的两个拓扑，则T i UT是一个拓扑.（X ）
5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。

（V ）
6. 从（X, T i）至U（X, T2）的恒同映射必是连续的。

（X ）
7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V ）
8. 设T i,T2是集合X的两个拓扑，则「T2不一定是集合X的拓扑（X ）
9. 从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V ）
10. 设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A （V ）
11. 设A为平庸空间X （X多于一点）的一个单点集，则d A （X ）
12. 设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A X （V ）
二.填空题：（每空格3分）
1、X二Z+,T二{ZZ …乙…},其中
乙={n,n+1,n+2, -},
贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Z s
包含3的所有闭集为乙,Z4,Z5,Z6,...
包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1} Z3
设A二{1,2,3,4,5} 则 A 的导集为{1,2,3,4} , A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X为度量空间,x € X,则d ({x} ) =_
3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_____ R ____ .
4、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 _______________ ; _______
答案：U (A {x})
5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= _____ — A= ；
答案：X ；X
6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ______ — A= ;
答案：X ；X
7、设X {1,2,3} , X 的拓扑T {X, ,{2},{2,3}},则X 的子集 A {1,2}的内部
为____________ ；_______
答案：{2}
1、已知X {a,b,c,d,e},卜列集族中，(
①T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c, e}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b,d},{ a,b,c,e}} ③T {X, ,{a},{a,b}}
④T
{X, ,{a},{b},{ c},{ d},{e}}
2、已知X {a,b, c,d}，拓扑 T {X, ,{a}}
答案：③
{b,c,d}
答案：④
3、已知 X {a,b, c,d}
,拓扑T
{X, ,{a}},则{a}=(
{a,b}
④{b,c,d}
答案：②
三、单项选择题(每题2分)
)是 X 上的拓扑.
②X
③{b} ,则{b}=(
④
4、 设X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a},{b,c,d}},则X 的既开又闭的非空真子集的
个数为（ ） ①
1
②2
③3
④4 答案：②
5、
设X {a,b}，拓扑T {X, ,{b}},则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
答案：③
③R-Z ④
10、在实数空间中，区间［0,1）的边界是（
① d(A B) d(A) d(B)
6、 在实数空间中，有理数集 Q 的内部Q °是（
R -Q 答案：①
7、 在实数空间中，有理数集 Q 的边界 （Q ）是（ R -Q
答案：④
在实数空间中，整数集 Z 的内部Z 是（
③R-Z
答案：①
9、 在实数空间中，整数集 Z 的边界（Z ）是
答案：②
②[0,1]
③{0,1}
(0,1)
答案：③
11、设X 是一个拓扑空间, A B 是X 的子集，则下列关系中错误的是（
答案：③
12、已知X是- 个离散拓扑空间，
（）
① d(A)② d(A)
③ d(A) A④ d(A)
A是X的子集，则下列结论中正确的是
X A
X 答案：①
③ d(A B) d(A) d(B) ④A
13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中不正确的是
( )
①若A ,则d(A) ②若A {x。

},则d(A) X A
③若A={x i,x2},则d(A) X ④若A X ,则d(A) X 答案：④
14、设X {a,b,c,d},令 B {{ a,b,c},{ c},{ d}},则由 B 产生的X 上的拓扑是( )
①{X , ,{ c},{ d},{ c, d},{ a, b, c}}
②{X, ,{ c},{ d},{ c, d}}
③{X , ,{ c},{ a, b, c}}
④{X , ,{ d},{ b, c},{ b, d},{ b, c, d}}答案：①
15、离散空间的任一子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③
16、平庸空间的任一非空真子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：④
17、实数空间R中的任一单点集是()
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：②
18、实数空间R的子集A ={1,丄，1 ,丄，……},则A =()
2 3 4
①© ②R ③A U {0} ④A 答案：③
19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是( )
①整数集②a,b ③有理数集④无理数集答案：①
20、在实数空间R中，下列集合是开集的是()
①整数集Z ②有理数集
③无理数集④整数集Z的补集Z 答案：④
已知X {1,2,3}上的拓扑T {X, ,{1}},则点1的邻域个数是（
2. 度量空间中收敛序列的极限是唯一的.
证：设度量空间X中序列{X i}i Z有：lim X i
若X y 则B(x, P x , y )/3) n B(y, p x , y 答案：④
22、已知X {a, b},则X上的所有可能的拓扑有（
② 2个③ 3个答案：④
23、在实数下限拓扑空间R中，区间［a,b）是（
① 开集② 闭集③ 既是开集又是闭集非开非闭答案：③
24、设X 是一个拓扑空间，A,B X , 且满足d(A) A, 则 B 是
① 开集② 闭集既是开集又是闭集非开非闭答案：②
四.证明题（52 分）:
1.设X有拓扑T I,T2,…Tn,
证:
(1) X, T i, 1,2 ,... n , 1T i
(2) A,B i n 1T i , A,B T i , i ...n.
B T i ,i 1...n, n i1 T i
(3) 1T i, T T i ,i 1...n,
所以
~ A T i ,i
T
1...n, ~A
AT
1T i
A T~
A T i ,i 1...n, AT i n 1 T i i 1 T i 也是拓扑.
,lim x i
)/3)=
对于 B(x , P (x ,
y )/3), 存在N i >0,当i > N i 时
有 x i
B(x , P (x , y )/3)
对于 B(y , P (x , y )/3), 存在 N 2>0, 当 i > N 2 时
有 x i
B(y , P (x , y )/3)
取 N=max{N 1, N 2},则当 i > N 时
有 X i B(x , P x , y )/3) n B(y , p x , y )/3)
与 B(x , P x , y )/3) n B(y ,
P x , y )/3)=
.矛盾
3. 设X 是一个拓扑空间，B 是一个基，x € X,则B 二{B € B | x € B}是点x 处的一个 邻域基 . 见 P.82 定理 2.6.7
4. 在欧氏平面R 中令Y={(0,y)|y € R}U {(x,0)|x € R},证明:Y 与实数空间R 不同
胚.( 提示: 用反证法 )
证：设丫与实数空间R 同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分 支, 而 R-{0} 却只有两个连通分支 . 而连通性是拓扑不变的 , 得到矛盾 . 所以 Y 与实 数空间R 不同胚.
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