a b c,
90
o
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分 析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点的周围环境相 同，它只能有14种类型。 晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具 体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此，实际存
正交 Orthogonal a≠b≠c，α=β=γ＝90º (-S、Ca、Fe3C）
四方（正方）Tetragonal a=b≠c, α=β=γ＝90º （-Sn、TiO2)
晶体的对称性
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某种 规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中点、线、 面都与原始的点、线、面完全重合）时，就把该物体 （图形）所具有的这种特性称之为“对称性”。
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i=- ( h + k )
晶带（Crystal zone）
所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个 “晶带”（crystal zone） 此直线称为晶带轴,所有的这些晶面都称为共带面。 晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存在以下关系 hu ＋ kv ＋ lw＝0———晶带定律 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶带
晶胞选取的原则
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
晶胞选取的原则

选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性；
平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多； 当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。



简单晶胞（初级晶胞）：只有在平行六面体每个顶角上有一阵点 复杂晶胞：除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点
v1 h:k :l v2
w1 w1 u1 u1 v1 : : w2 w2 u2 u2 v2
h u1 u2
k v1 v2
l w1 w2
晶带定律的应用（3）
晶轴1 (u1 v1 w1) 晶轴2 (u2 v2 w2) 晶轴3 (u3 v3 w3) 若
u1 u 2 u 3 v1 v2 v3 w1 w2 0 w3


晶面指数的例子
（010） （100）
Z
（120）
（102） （111）
Y
（321）
X
正交点阵中一些晶面的面指数
晶面指数的意义
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着 一组相 互平行的晶面。 在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， 只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以 {h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面 的总和。 • 立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；



Miller（密勒）指数:统一标定晶向指数和晶面指数
原子（点阵）坐标
O至P点的点阵矢量OP为：
op xa yb zc
P点坐标可表示为：
[[x,y,z]]或[[xyz]]
晶向指数的例子

正交晶系一些重要晶向的晶向指数
晶向指数的意义
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向； 所指方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反； 晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个 晶向族，用<u v w>表示
在的晶体结构是无限的。
晶体结构和空间点阵的区别
晶体结构和空间点阵的区别
c
-Fe, fcc
a
Cu3Au, simple cubic
复习题

1.说明为何十四种布拉菲点阵中不存在底心四 方点阵和面心四方点阵？
1.2.2 晶向指数和晶面指数

原子坐标：原子的位置
晶向：晶体中原子列 的方向 晶面：原子构成的平面
z ( u轴 )
A
x, y, z
A 点绕旋转轴 (z 轴 ) 旋 转 3600 ， 在 经 过
中心反演到 A' 点，
晶体完全重合。实 际上即为中心反演
O ( 对称心 )
y
x
A
x, y, z
(2) 2 象转轴——实际上就是对镜象m。
z ( u轴 )
A
A
x, y, z
x, y, z
晶带定律的应用（1）
晶面1 (h1 k1 l1) 晶面2 (h2 k2 l2) 晶带轴 (u v w)
k1 l1 l1 u:v:w : k2 l2 l2
h1 h1 : h2 h2
k1 k2
u h1 h2
v k1 k2
w l1 l2
晶带定律的应用（2）
晶向1 (u1 v1 w1) 晶向2 (u2 v2 w2) 晶面 (h k l)
3
1
1
2
4
2
4
基本的宏观对称元素

晶体的宏观对称性中只有八种最基本的 对称元素，即L1、 L2 、 L3、 L4、 L6、i、 m、 L4i 。
例题1：立方系的对称性简析。 (1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
(2)四个三度轴(空间对角线)
(3)六个2度轴
(4)三个和四度轴垂直的对称面
对称轴的种类
符 号 基 转 角（） 轴 次（n）作图符号 L 2 L 3 L 4 L 6 L
1
名 称 一次对称 二次对称 三次对称 四次对称 六次对称
360 ° 180 ° 120 ° 90 ° 60 °
1 2 3 4 6
对称轴所构成的对称配置投影图：
4）回转—反演轴
定义
先绕u轴转动2/n，再经过中心反演，晶体自动重
则
三个晶轴同在一个晶面上
晶带定律的应用（4）
晶面1 (h1 k1 l1) 晶面2 (h2 k2 l2) 晶面3 (h3 k3 l3) 若
h1 h 2 h3 k1 k2 k3 l1 l2 0 l3
空间点 阵
为便于描述空间点阵的图形，用许多平行的直 空间点阵的初级单胞周期平移必须填满整个空间，因此 晶格 线将所有阵点连接起来，构成一个三维的几何 旋转轴次只能为五种（ 1，2，3，4，6） 格架，称为晶格
晶胞
具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作 为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维 的重复堆砌就构成了空间点阵。
对称变换（对称操作）：借助某种几何要素，能使物 体（或对称图形）恢复原状所施行的某种规律的动作， 就称为“对称变换”。 对称要素（对称元素）：对物体（或图形）进行对 称变换时所借以参考的几何要素，称为“对称要素”。
宏观对称元素
1）对称中心（center of symmetry, 符号C）：为一假想 的几何点，相应的对称变换是对于这个点的倒反（反演， 反伸）。国际符号：i
和O-xy对称面 的操作相当。
O ( 对称心 )
y
x
A
x, y, z
(3) 3 回转-反演轴——实际上就是3度转轴＋对称 心(i)
5
3
3
1
5
1
4
6
2
6 2
4
(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
5
5
3 3
1
1
2
6
2
4
4
6
(3) 4 象转轴
3
• 立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面； • 立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；
六方晶系指数
六方晶系的晶向指数和 晶面指数同样可以应用 上述方法标定，这时取 a1，a2，c为晶轴，而a1 轴与a2轴的夹角为120度， c轴与a1，a2轴相垂直。 但这种方法标定的晶面 指数和晶向指数，不能 显示六方晶系的对称性， 同类型 晶面和晶向，其 指数却不相雷同，往往 看不出他们的等同关系。
六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样， 其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
六方晶系一些晶面的指数
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指 数的确定原则仍同前述晶 向指数可用｛u v t w｝来 表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示 方法(c轴与图面垂直)
六方晶系中，三轴指数和四轴指数的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
a b c,
90o
六方：简单六方
a1 a2 a3 c,
90o , 120o
菱方：简单菱方 a b c, 90o
四方：简单四方 a 体心立方 面心立方
(5)六个和2度轴垂直的对称面
晶
族
包含的晶系 立方晶系 六方、四方、三方晶系 正交、单斜、三斜晶系
对称性强弱 对称性最高 对称性较弱 对称性最弱
高级晶族 中级晶族 低级晶族
14种布拉菲点阵
按照“每个阵点的周围环境相同“的要求，布拉菲 （Bravais A．）用数学方法推导出能够反映空 间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种， 这14种空间点阵也称布拉菲点阵。
晶面指数
晶面指数标定步骤：

1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；

2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值； 3)取各截距的倒数；
4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。