专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题
(见B 本9页)
, 类型 1 线段的最值问题)
例1图
【例1】 如图所示，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值是__5__．
变式 某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y ＝
1100
x 2
的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B )
变式图 A ．12.75米
B ．13.75米
C ．14.75米
D ．17.75米
, 类型 2 线段和差的最值问题
【例2】 如图所示，已知抛物线y ＝－x 2
＋px ＋q 的对称轴为直线x ＝－3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx ＋b 与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为( A )
A ．(0，2)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，53
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，43
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32 例2图
变式 如图所示，二次函数y ＝－x 2
－3x ＋4的图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于点C.点P 是抛物线的对称轴上
一动点，若|PA －PC|的值最大，则点P 的坐标为 ⎝
⎛⎭
⎪⎫－32
，10 ． , 类型 3 面积的最值问题
【例3】 正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内抛物线l 上的动点．则△OAE 与△OCE 面积之和的最大值是__9__．
例3图
变式 如图所示，二次函数y ＝ax 2
＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)a ＝__－1
2
__，b ＝__3__；
(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．
解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2
＋bx ，
得⎩⎪⎨⎪
⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨
⎪⎧a ＝－12，b ＝3，
变式答图
(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD ，CB ，过C 作CE⊥AD，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ， S △OAD ＝12OD ·AD ＝1
2
×2×4＝4；
S △ACD ＝12AD ·CE ＝1
2×4×(x －2)＝2x －4；
S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12x 2＋3x ＝－x 2
＋6x ，
则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2
＋6x ＝－x 2
＋8x ，
∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2
＋8x(2＜x ＜6)．
∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2
＋16，
∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.
1．2017·泸州中考已知抛物线y ＝14x 2
＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x
轴
第1题图
的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2
＋1上一动点，则△PMF 周长的最小值
是( C )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第2题图
2．如图所示，抛物线y ＝－x 2
－2x ＋3 的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．
(1)写出A ，B ，C 三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)．
(2)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A ，B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．
解：(2)由抛物线y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2
＋4可知， 对称轴为直线x ＝－1，
设点M 的横坐标为m ，则PM ＝－m 2
－2m ＋3，MN ＝(－m －1)×2＝－2m －2，
∴矩形PMNQ 的周长＝2(PM ＋MN)＝2(－m 2
－2m ＋3－2m －2)
＝－2m 2－8m ＋2＝－2(m ＋2)2
＋10， ∴当m ＝－2时矩形的周长最大．
∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3， 当x ＝－2时，y ＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)，
∴EM ＝1，AM ＝1，∴S ＝12AM ·EM ＝1
2.
第3题图
3．2017·东营中考如图所示，直线y ＝－
3
3
x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3经过A ，B 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH⊥BC 于点H ，作MD∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．
解：(1)∵直线y ＝－
3
3
x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点， ∴B(3，0)，C(0，3)，
∴OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝23， ∴∠CBO ＝30°，∠BCO ＝60°，
∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝1，∴A(－1，0)． ∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝0，
9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3
3，b ＝23
3， ∴抛物线解析式为y ＝－
33x 2＋233
x ＋ 3. (2)∵MD∥y 轴，MH ⊥BC ，
∴∠MDH ＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°， ∴DH ＝12DM ，MH ＝3
2
DM ，
∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋3
2DM ，
∴当DM 有最大值时，其周长有最大值，
∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－
33t 2＋233t ＋3，则D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，－33t ＋3， ∴DM ＝－33t 2＋233t ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－33t ＋3＝－33t 2＋3t ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋334，
∴当t ＝32时，DM 有最大值，最大值为33
4
，
此时3＋32DM ＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH 周长的最大值为93＋9
8.
第4题图
4．已知：抛物线l 1：y ＝－x 2
＋bx ＋3交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，其对称轴为x
＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，交y 轴于点D ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－52. (1)求抛物线l 2的函数表达式；
(2)M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．
解：(1)∵抛物线l 1：y ＝－x 2
＋bx ＋3的对称轴为x ＝1，
∴－b －2＝1，解得b ＝2，∴抛物线l 1的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3，
令y ＝0，可得－x 2
＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A 点坐标为(－1，0)，∵抛物线l 2经过A ，E 两点， ∴可设抛物线l 2的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)， 又∵抛物线l 2交y 轴于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52， ∴－52＝－5a ，解得a ＝1
2，
∴y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52，
∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝12x 2－2x －52.
(2)由题意可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2
－2x －52，
∵MN ∥y 轴，∴N(x ，－x 2
＋2x ＋3)，
令－x 2
＋2x ＋3＝12x 2－2x －52，解得x ＝－1或x ＝113
.
①当－1＜x≤113时，MN ＝(－x 2
＋2x ＋3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52＝－32x 2＋4x ＋112＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋496，
显然，－1＜43≤113，∴当x ＝43时，MN 有最大值49
6
；
②当113＜x≤5时，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52－(－x 2
＋2x ＋3)＝32x 2－4x －112＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432－496，
显然，当x ＞4
3时，MN 随x 的增大而增大，
∴当x ＝5时，MN 有最大值，32×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－432－49
6
＝12.
综上可知在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12.。