推论 1 d [ b f (t)dt] f (x)
dx x
推论 2 d [ (x) f (t)dt] f [(x)] (x) dx c 推论 3
d [ (x) f (t)dt] f [ (x)] (x) f [(x)] (x)
dx ( x)
求证
(x) 0 tf (t)dt x
在 (0,) 内单调增加.
0 f (t)dt
(3) 最大最小值问题 例 8 在区间[1,e] 上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小
y
y = ln x 1
1
e
x
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和: A(x)
x
ln tdt
二 积分上限函数的几个变式
（1） 比如
F(x)
x
(x t) f (t)dt
0
(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.)
在求 F (x) 时，先将右端化为
x
xf (t)dt
x
tf (t)dt x
x
f (t)dt
x tf (t)dt 的形式，再对 x 求导。
在求 F (x) 时，先对右端的定积分做变量代换 u xt（把 x 看作常数），此时，
dt du ，t 0 时，u 0；t 1时，u x ，于是， F(x) 就化成了以 u 作为 x
积分变量的积分上限函数： F(x) 1 x f (u)du ，然后再对 x 求导。 x0
这样， F (x) 就化成了以 u 作为积分变量的积分下限函数：
F(x)
0
0
(x u) f (u)du x
f (u)du
0 uf (u)du ，然后再
x
x
x
对 x 求导。
( 3 ) 比如
F(x)
1
f (xt)dt
0
(这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)
注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对
f (x) 作变上限积分后得到的函数，性
质比原来的函数改进了一步：可积改进 为连续；连续改进为可导。这是积分上 限函数的良好性质。而我们知道，可导
函数 f (x) 经过求导后，其导函数 f (x)
甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。 它说明：连续函数必存在原函数，并通过 定积分的形式给出了它的一个原函数。我 们知道，求原函数是求导运算的逆运算， 本质上是微分学的问题；而求定积分是求 一个特定和式的极限，是积分学的问题。 定理（2）把两者联系了起来，从而使微分 学和积分学统一成为一个整体，有重要意 义。
关于积分限函数的小结 ----习题课选例
积分上限函数（或变上限定积分）
F (x) x f (t)dt 的自变量是上限变量 x ， a
在求导时，是关于 x 求导，但在求积分时， 则把 x 看作常数，积分变量 t 在积分区间
[a, x] 上变动。弄清上限变量和积分变量的
区别是对积分限函数进行正确运算的前 提。
例 5 已知 y et dt xy costdt 0. 求 dy . (答: y cos(xy) )
0
0
dx
e y x cos(xy)
例 6 求 d x sin(x t)2 dt dx 0 (答: sin x2 )
x
例 7 设 f (x) 在 (,) 内连续且 f (x) 0,
三 有积分限函数参与的题型举例
（1） 极限问题：
例1
x2
3
sin 2 tdt
lim 0
x0
x
t(t sin t)dt
0
（答：12）
x
例 2 lim 0 sin t dt （提示：本题用洛必达法则求不出结果，
x
x
可用夹逼准则求。 答： 2 ）

例 3
已知极限 lim x0
x
xu
0 f (u)( x u)du 0 [0 f (t)dt]du.
(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)
x 0 x 1, 例 12 设 f (x) 2 x 1 x 2,
0 x 0 , x 2.
求 (x) x f (t)dt 在 (,) 内的表达式. 0
0
0
0
0
（2）比如
F(x)
x
tf (t x)dt
0
( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面
来)
在求 F (x) 时，先对右端的定积分做变量代换 u t x（把 x
看作常数），此时，dt du ，t 0 时，u x ；t x 时，u 0 ，
ex
1 bx

a
x 0
sin t dt 1，试确定其中的非 tc
零常数 a, b, c.
（答： a 1, b 1, c 1. ）
(2) 求导问题
例 4
已知
x
t
0 (1 cosu)du, 求 dy .
(答:
sin t
)


y


t
sin udu.
0
dx
2 t (1 cost)
(4) 积分问题
例 10 计算
1 xf (x)dx ，其中 f (x)
x2 sin t dt .
0
1t
(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时,
总是用分部积分法求解, 且取 u(x) 为积分上限函数. 答: 1 (cos1 1).) 2
例 11 设 f (x) 在 (,) 内连续, 证明
e
(1 ln t)dt ,
1
x
然后求出 A(x),再求出其驻点. 答: e .)
例 9 设 x 0， n 为正整数. 证明 f (x) x (t t 2 ) sin 2n tdt 0
的最大值不超过
1
.
(2n 2)(2n 3)
(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)
一 关于积分限函数的理论
定理 1 如果 f (x) 在 [a,b] 上可积，则
F ( x)

x
a
f
(t)dt
在[a,b] 上连续.
定 理 2 如 果 f (x) 在 [a,b] 上连续，则
x
F (x) a f (t)dt
在
[a, b]
上
可导
，且
F (x) d [ x f (t)dt] f (x). dx a