10
二、菲涅耳－基尔霍夫衍射公式（确定了C、K()) 基尔霍夫 (Kirchhoff) 从波动方程出发，用场论得出了 比较严格的衍射公式。
A expik l expik r cosn, r cosn, l E P ＝ d i l r 2
菲涅尔假设： 当 = 0 时，K()=Max, p/ 时，K()=0.
（实验证明是不对的） 若S发出的光源振幅为A（单位距离处）,整个波面’的贡献
CA expikr ~ E P expikR K d R r
求解此公式主要问题：C、K()没有确切的表达式。
设
l
x sin x , f
a b
m
y sin y f
~ E x, y C 2a 2b exp ik lx1 my1 dx1 dy1
2 2
28
~ E x, y C 2a 2b exp ik lx1 my1 dx1 dy1
2 2
P0 E
17
r z1
2 2 x x1 y y1
2 z1
称为菲涅耳近似。
得到菲涅耳衍射：
e ikz1 ~ E x, y iz1

k ~ 2 2 E x1 , y1 exp i x x1 y y1 2 z1 y y
~ 和E0 abC
则
~ ~ sin sin E x, y E0
子波的复振幅与 cosn, r cosn, l 2 成正比，与波长成反比。 K ( )
1 p i exp[ i ] i 2 表示子波的振动位相超前于入射波90。
12
当光线接近于正入射时
cos(n, l ) 1, cos(n, r ) cos
exp( ikl) exp( ikR) l R
E x, y C x y ~ E x1 , y1 exp ik x1 f y1 f dx1dy1
(x, y)
C
exp
x2 y2 [ ik ( f )] 2f
p' (x', y') x x'
if
f'
可以写成
E x, y C x y ~ E x1 , y1 exp ik x1 z y1 z dx1dy1 1 1
22
在无透镜时，观察点为P’；有透镜时，在透在傍轴近似下，公式中 x′/Z1 由 x /f ' 代替。计算公式变为：
夫琅和费衍射
源点和场点均满足远 场近似
源点和场点均在无 限远处 平行光衍射
光源面和接收面物 象共扼面
非平行光衍射
光源面和接收面非 物象共扼面
§12－1.光波的标量衍射理论
一、惠更斯－菲涅耳原理 1、惠更斯原理 (Huygens’ principle)：
（1）波阵面的形成，
（2）波面的传播方向。
6
惠更斯作图法解释波的衍射
P(x,y) P(x Q
1 1
,y )
H D
C

r
光程差
D OH， x y x , y f f
O
P0
f'
25
夫琅合费衍射公式的意义（总结）
E x, y C x y ~ E x1 , y1 exp ik x1 f y1 f dx1dy1
1 x2 y2 C exp[ ik ( f )] i f 2f
O点到P点的位相延迟
孔径上其它点发出的 光波与O 点的位相差。
积分式表示孔径上各点子波的相干叠加。叠 加结果取决于各点发出的子波与中心点发出 子波的位相差。
26
三、矩孔衍射 (Diffraction by a rectangular aperture)
y1 x1
进一步的计算需要 将exp( ikr )中的r表 示成(x,y,z)的函数。
Q C z1 K
r
P
x
P0 E
孔径 的衍射
16
2.菲涅耳近似（对位相项的近似）
r z1 ( x x1 ) 2 y y1 z1 1
2 2
x x1 2 y y1 2

r P
S
R
14
三、基尔霍夫衍射公式的近似
exp ikR i ~ E P A 2 R


exp ikr 1 cos d r
1、傍轴近似（两点近似） (1) cosn r cos 1 (2)在振幅项中 1 1 r z1
1 K 1 cos 1 2 y1
1、强度分布计算 （Intensity distribution calculation）
设矩形孔的长和宽分别为 a 和 b，用单位平面波照射，即
1 ~ E x1 , y1 0
b
y
1
b
x1
在矩孔以内 在矩孔以外
a
27
将矩孔的复振幅分布代入下式：
~ x y ~ E x, y C E x1 , y1 exp ik x1 f ' y1 f ' dx1 dy1 －
( n,l ) ( n,r )
r
P
则 K
1 1 cos 2
13
将近似条件代入得到：菲涅耳－基尔霍夫衍射近似公式
exp ikR i ~ E P A 2 R


exp ikr 1 cos d r
( n,l ) ( n,r )
～
w'
( n,l ) w r P
其中，设定方向角 ( n, l ) 和 ( n, r ) 为与 l 和 r 的夹角。S
( n,r ) l R
P点：由多个虚设的子波源产生。
w"
11
E P ＝
～
A expik l expik r cosn, r cosn, l d i l r 2
2 2 夫琅合费衍射对z的要求 =600nm, x1 y1
x z
2
1
y1
2



max
2cm2

L
1
max
330 m
( x ,y )
1 1
(x,y ) L
2
P
S
f
图12-5 夫琅合费衍射装置
21
加有透镜之后，衍射公式如何变化？
2、夫琅合费衍射公式变化
k ~ E x, y C E x1 , y1 exp i xx1 yy1 dx1dy1 z1 1 x2 y2 exp[ ik ( z1 )] 其中 C iz1 2 z1
衍射的MATLAB模拟
刘雁 三峡大学理学院 2013.4
内容提要
衍射的基本理论
单缝衍射的Matlab模拟
一衍射的基本原理
光的衍射现象：光波在空间传播遇到障碍时，其传播方
向会偏离直线传播，弯入到障碍物的几何阴影中，并呈 现光强的不均匀分布的现象。
衍射现象的分类
(Classification of light diffraction)：

r P
~ EQ 对P点的贡献为：
~ ~ exp ikr dE P CK EQ d r

Z'
子波向P点的球面波公式
子波法线方向的振幅 子波振幅随角的变化
9
Q点处的面光源d对P点的作用： ~ ~ exp ikr dE P CK EQ d r
19
菲涅耳衍射和夫琅和费衍射是两个经常应用的衍射计算。 菲涅耳衍射和夫琅合费衍射的判别式；
x k
或者 Z<
2
1
x x
y1 2z
2
2

max
p
1
y1 y1
2

max
(菲涅耳衍射) (夫琅合费衍射)
20
2
2
Z>
1
max
§2 .典型孔径的夫琅合费衍射
一、衍射系统与透镜作用 1、透镜的作用：无穷远处的衍射图样成象在焦平面上。
z1
2 3 2
z1
x x1 2 y y1 2
2 z1

[x x1 y y1 ] 2
2
8 z1
....
y
r z1
2 2 x x1 y y1
y1 x1 Q C z1 K r
2 z1
P
x
近似条件： 2p [ x x1 y y1 ]2 p 3 8 z1
根据光源、衍射屏和观察屏三者之间的位置确定 （1）夫琅和费衍射(Fraunhofer diffraction)： 距离衍射屏远处的衍射。 （2）菲涅耳衍射（ Fresnel diffraction ）： 距离衍射屏近处的衍射。 K S
4
菲涅耳衍射与夫琅和费衍射的区别
菲涅耳衍射 1 2 3 4
源点和场点均满足傍轴近似 ，但不同时满足远场近似 源点和场点（或二者之一） 在有限远。

p
z1
23
二、夫琅合费衍射公式的意义 加有透镜之后，有两个因子与透镜有关： 1 x2 y2 C exp ik ( f ) i f 2f （1）复数因子
2 y2 x 其中 r CP f 2 x 2 y 2 f 2f 结论：若孔径很靠近透镜，r 是孔径原点O处发出的子 波到P点的光程，而 kr 则是O点到P点的位相延迟。