2021年高三年级第二次月考（数学理）
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．等于（） A．2 B．1 C．－1 D．－2
2．在等差数列中，，，则该数列的前7项的和是（）
A．14 B．20 C．28 D．56
3．函数的反函数是（）
A．B．
C．D．
4．若是非零向量且满足：，则与的夹角是（）
A．B．C．D．
5．给定下列命题
①在第一象限是增函数；
②中三内角A、B、C成等差的充要条件是B=60°；
③若，则是正三角形；
④函数的周期是，其中正确命题的序号为（）
A．①②③④B．①④C．②③D．①②④
6．若，则下列结论不正确
．．．的是（）A．B．C．D．
7．已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，则（）
A．B．C．D．
8．在△ABC中，，则的大小（）
A．B．C．D．
9．已知非零向量，满足|＋|＝|－|，则的取值范围是（）A．B．C．D．
10．已知函数，正实数、、成公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中有可能成立的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4
11．设是函数的单调递增区间，将的图像按向量平移得到一个新的函数的图像，则的单调递减区间必定是（）A．B．C．D．
12．已知{a n}是等比数列，且，则使不等式：
0)1
()1()1(2211>-++-+-
n
n a a a a a a 成立的正整数的最大值是 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题 （共4小题，每小题5分）
13．设，函数的最小值是，则实数= . 14．定义非空集合的真子集的真子集为的“孙集”，则集合的“孙集”的个数有 个 15．右图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型，
数字1出 现在第1行；数字2、3出现在第2行；数字 6、5、4（从左至右）出现在第3行；数字7、8、9、10 出现在第4行；依此类推。

试问第99行，从左至右算， 第67个数字为__________ 16．有以下四个命题
①的最小值是； ②已知, 则；
③在R 上是增函数；
④函数的图象的一个对称中心是
其中真命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题 17．（本小题10分）
已知，为常数且,
求使不等式 成立的的范围。

18．（本题满分12分）
已知函数2
3
()3cos cos
(,)2
f x x x x R x R ωωωω=-+∈∈的相邻两最大值
之间的距离为，且图象关于直线对称。

（I ）求的解析式；
（II ）若函数的图象与直线上只有一个公共点，求实数的取值范围。

19．（本题满分12分）
已知等差数列，公差大于，且是方程的两根，数列前项和．
（Ⅰ）写出数列、的通项公式； （Ⅱ）记，求证： ； 20．（本题满分12分）
某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建筑面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有
关，当该球场建个时，每平方米的平均建筑费用表示，且，（其中，又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场? 21．（本题满分12分）
设函数定义域为，当时,,且对于任意的,都有
（I ）求的值,并证明函数在上是减函数；
（II ）记△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，若时，不
等式
233
[sin cos()])4
f m B A C f +++>恒成立，求实数的取值范围。

22．（本题满分12分）
已知为数列的前项和，且， （Ⅰ）求证： 数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为，求证：.
参考答案
一、ACBBCDCBDCDB 二、，26，4884，③④ 三、
17．
222(1,),(,)22
2(1)22
2(1)(2)0
4a x b x x x a b x x x x a b m a b
x x m x m ==+-∴•=+-=•+>+•+⇔+>+⇔+->解：分故分
（1）当时，
原不等式的解集为
（2）当时，原不等式的解集为 ------------- 10分 18．解：（1）
-------------2分 --------- 4分 当，
与 --------- 6分
的一个对称轴
--------------8分 （2）
1()sin(2),266
y f x x t x t ππ
=-=+=+
∈令则 上只有一个交点。

由图象观察得： ---------------------------12分 19．解（Ⅰ）由题意得 所以 或 ……2分
又因为等差数列的公差大于零，所以不合题意，舍去． 由，得． ． ………4分 由，得 ……………5分
当1111
2,()32
n n n n n n n n b T T b b b b ---≥=-=
-⇒=时，………6分 ……………………7分
． ………………………………8分 （Ⅱ）， …………………9分 111
2(21)2(21)8(1)
0333
n n n n n n n n c c ++++---∴-=
-=≤．………11分 ． ………………12分
20．解：设建成个球场，
则每平方米的购地费用为＝ ----------- 3分 由题意知)＝400(1+) ----------7分 从而每平方米的综合费用为 ＝---------9分
≥202+300＝620（元），当且仅当时等号成立 -------11分 故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省. ------------12分
21．解：(1) ,且当时，，所以
当时，，，，
对于，---------------3分
设，则)()()()()]([)()(112111212x f x x f x f x f x x x f x f x f --⋅=--+=-
又，所以，，，
即 ，故函数在上是减函数。

-----------------6分
（2）上单调递减，且),4
33
2()]cos(sin [2
+
<+++m f C A B m f 所以 --------------8分
,
87)21
(cos 429cos cos 44
33cos sin 4433)cos(sin 2222≥++=++=++-=+
+--B B B B B C A B -------------10分
.
160,40,313,9)1(,822<≤<≤<-<-<-<-m m m m m m 即即即故----------------12分
22．解：（Ⅰ）解：，
.
()11222,212(2)n n n n a a n a n a n ++∴=-+∴-+=-.
是以2为公比的等比数列 ----------------3分 ,.
. -----------------------4分
（Ⅱ） 当为偶数时，
12313124()()n n n n P b b b b b b b b b b -=++++=+++++++
()()()31221223221n n -⎡⎤=-+⨯-+⨯--+-⎣⎦
()()()
2422222422n n ++⨯++⨯+
++⨯()()2
2
4122122
(21)12123
n n n n n --=
-
+=⋅-+--；------------------ 6分
当为奇数时， . -------------- 7分
综上，. ----------- 8分 （III ）.
当时，1
3
--------------------------------9分
当时，
123
23111
1111
1
<212223
2322
2
n n
n T n =++++
++++
++++ -------------10分
=
综上可知：任意，. ------- ---- 12分。