2．2.3向量的数乘●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．(3)掌握向量共线的条件．2．过程与方法由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，向学生揭示事物是在不断地运动变化着．(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中“万变不改其性”的哲理．●重点难点重点：数乘向量的运算及其几何意义．难点：两向量共线的含义及共线定理．●教学建议1．关于数乘向量的概念的教学教学时，建议教师结合学生熟悉的物理知识引出实数与向量的积，并着重强调数乘向量也是向量，也应该从“模”与“方向”两点学习该部分知识，进而得到数乘运算的几何意义．2．关于向量共线的判定定理和性质定理的教学教学时，建议教师从数乘向量的定义及共线向量的定义出发，先让学生由“a(a≠0)，b 共线”导出“b＝λa”这一等量关系，在此基础上给出“b＝λa”让学生判断a(a≠0)，b是否共线．从而从正反两方面给出该定理的推导和证明，最后通过典例辅助学生理解并应用．●教学流程创设问题情境，引入向量数乘的概念，并引导学生探究向量数乘的运算律.⇒引导学生结合向量数乘的定义及共线向量的定义，探究向量共线定理的推导和证明.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握进行向量数乘基本运算的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握结合向量数乘运算，用已知向量表示未知向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用向量共线定理解决有关三点共线问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．(难点)3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.向量数乘的定义我们知道a＋a＋a＝3a，那么a＋a＋a是否等于3a？(－a)＋(－a)＋(－a)呢？【提示】a＋a＋a＝3a，(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘.向量数乘的运算律类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？【提示】结合律，分配律．(1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量共线定理【问题导思】若b ＝2a ，b 与a 共线吗？【提示】 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线．如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .向量数乘的基本运算(1)化简23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b )－(a －23b )＋(2b －a )．【思路探究】 去括号→合并共线向量→化简． 【自主解答】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋74b ]＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋74)b ] ＝23(52a －1112b )＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j ＝－53i －5j .向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．计算： (1)(－7)×(6a )；(2)(a ＋b )－3(a －b )－8a ； (3)(a ＋2b ＋c )－2(b －3c )． 【解】 (1)(－7)×(6a )＝－42a .(2)(a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .(3)(a ＋2b ＋c )－2(b －3c )＝a ＋(2b －2b )＋(c ＋6c ) ＝a ＋7c .向量的表示图2－2－21如图2－2－21，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.【思路探究】 由D ，E 为边AB 的两个三等分点可知A ，B ，D ，E 四点共线，从而向量AD →，AE →均可以由向量AB →表示，而向量AB →可由向量CA →，CB →表示，从而问题可解．【自主解答】 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ， 又D ，E 为边AB 的两个三等分点， 所以AD →＝13AB →＝23b －a ，所以CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想．若本例条件不变，如何求BD →？【解】 BD →＝23BA →＝－23(2b －3a )＝2a －43b ，或BD →＝BC →＋CD →＝－2b ＋2a ＋23b ＝2a －43b .共线问题12(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【思路探究】 对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB →即可；对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．【自主解答】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，AC →，BC →在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【解】 BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2. 因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.由向量相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，所以k ＝－8.对向量共线定理理解不透致误图2－2－22如图2－2－22所示，在△ABC 中，已知D ，E 分别为BC ，AC 的中点，若AD→＝m ，BC →＝a ，试用a ，m 表示DE →.【错解】 由题意知DB →＝12BC →＝12a ，AB →＝AD →＋DB →＝m ＋12a .∵DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，∴DE →＝12AB →＝12m ＋14a .【错因分析】 DB →与BC →共线，D 为BC 的中点，但DB →与BC →的方向相反，所以DB →＝－12BC →＝－12a .DE →与AB →平行且方向相反，故DE →＝－12AB →. 【防范措施】 正确理解向量共线的充要条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .当b 与a 同向时，λ＞0，b 与a 反向时，λ＜0.【正解】 ∵D 为BC 的中点，∴DB →＝－12BC →＝－12a ，∴AB →＝AD →＋DB →＝m －12a .又∵D ，E 分别为BC ，AC 的中点， ∴DE →＝－12AB →＝－12m ＋14a .1．向量数乘的几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍．2．准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据．理解时应注意以下几点：(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不惟一，定理的正反两个方面不成立．(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.1．化简5(3a－2b)－4(2b－3a)的结果为________．【解析】 5(3a －2b )－4(2b －3a )＝15a －10b －8b ＋12a ＝27a －18b . 【答案】 27a －18b2．在△ABC 中，D 是BC 的中点，向量AB →＝a ，向量AC →＝b ，则向量AD →＝________(用向量a ，b 表示)．【解析】 延长AD 到E ，使AD ＝DE ，则四边形ABEC 是平行四边形， 则AD →＝12AE →＝12(a ＋b )．【答案】 12(a ＋b )3．平面向量a ，b 共线的等价条件是________．(填序号) ①a ，b 方向相同；②a ，b 两向量中至少有一个为零向量； ③存在λ∈R ，b ＝λa ；④存在不全为0的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0.【解析】 由两个非零向量a ，b 共线的条件，即向量共线定理可知，①②③不是a ，b 共线的等价条件，④是．【答案】 ④4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线．【证明】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →， ∴BD →与AB →共线．又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________． ①|λa |＝λ|a |；②|λa |＝|λ|a ；③|λa |＝|λ||a |； ④|λa |>0.【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa |∈R ，而λ|a |是数乘向量，故②必不成立．【答案】 ①②④2．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简式为________．【解析】 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .【答案】 2b －a3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】 ∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线且AC →与AB →同向，|AC AB |＝57(如图)，∴|BC AC |＝25，又BC →与AC →反向， ∴BC →＝－25AC →.【答案】 －254．已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线的交点为O ，则用a ，b 表示OB →为________．【解析】 ∵DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →， ∴OB →＝12(a ＋b )．【答案】 12(a ＋b )5．点G 是△ABC 的重心，D 是AB 的中点，且GA →＋GB →－GC →＝λGD →，则λ＝________. 【解析】 ∵GA →＋GB →－GC →＝GA →＋GB →＋CG →＝2CG →＝4GD →， ∴λ＝4. 【答案】 4图2－2－236．如图2－2－23所示，OA →与OB →分别在由点O 出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________．①OA →＋2OB →；②OA →＋12OB →；③OA →－13OB →；④34OA →－15OB →.【解析】 作出四个向量可知，只有①②满足条件． 【答案】 ①②7．已知向量a ，b ，若AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．【解析】 通过观察，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，与a ＋2b 有2倍关系，即2AB →＝BD →.符合向量共线定理，∴A ，B ，D 三点共线．故填A ，B ，D.【答案】 A ，B ，D8．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】 法一 如图， MN →＝MB →＋BA →＋AN → ＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )． 法二 设AC 交BD 于O ，由于N 为AC 的34分点，则有N 为OC 的中点，MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a )． 【答案】 14b －14a二、解答题9．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且m a －3b 与向量a ＋(2－m)b 共线，求实数m 的值．【解】 由m a －3b 与向量a ＋(2－m)b 共线可知， 存在实数λ满足m a －3b ＝λ[a ＋(2－m)b ]， 即(m －λ)a －[3＋λ(2－m)]b ＝0， 又a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，3－λm －2＝0，解得m ＝3或m ＝－1.10．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.【解】 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →， 即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )． ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d . 11．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．【解】 b 与a ＋c 共线．证明如下：∵a ＋b 与c 共线，∴存在惟一实数λ，使得a ＋b ＝λc .①∵b ＋c 与a 共线，∴存在惟一实数μ，使得b ＋c ＝μa .②由①－②得，a －c ＝λc －μa .∴(1＋μ)a ＝(1＋λ)c .又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.∴a ＋c ＝－b .故a ＋c 与b 共线.如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 到N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．【思路探究】 本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题．【自主解答】 在△AMC 中，D 为MC 的中点，∴2AD →＝AM →＋AC →.又∵D 是AB 的中点，∴2AD →＝AB →.∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理可证AN →＝AC →－AB →＝BC →.∴AM →＝－AN →.∴AM →，AN →共线且有公共点A.∴A ，M ，N 三点共线．1．用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量．2．解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论．已知任意平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．【证明】 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →. ∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)． 又 ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →) ＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD → ＝12(AB →＋DC →)．。