.《工程中的数值分析》开放性考试工程中的数值分析题目：建筑与土木工程系分院：14土木工程本一班级：陈凯名：姓14219114125号：学日14122016 完成日期：年月温州大学瓯江学院教务部..二○一二年十一月制实现二分法的和算法及Excel1.1由闭区间上连续函数的性质f(b)<0f(a)·[a,b]上连续,且在原理:设函数f(x)二分法的基本思想内至少有一个实根.(a,b),方程(2.2)在区间及定理2-1可知,,进一步缩小有根区间:逐步二分区间[a,b],通过判断两端点函数值的符号是. ,从而求出满足精度要求的根的近似值将有根区间的长度缩小到充分小算法:给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度.求区间(a,b)的中点c.计算f(c).(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c;(3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c.(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.Excel实现:单元格内分别输入区间[a,b]的左右端点值,中点值=(a+b)/2,依次计算出各点代入公式的f(x)值,用IF函数比较单元格内输入“=IF(f(中点值)<0”,中点值,a)如果f(中点值)＜0,则下个左端点取原来的中点值(a+b)/2.同理“=IF(f(中点值)<0,b,中点值)”下个右端点取原来的右点值b.如此循环往下,直至某个中点值代入f(x)得到的解满足题目要求的近似解或者零点即f(c)=0则该值则为零点。
..1.2不动点迭代法的原理和算法及Excel实现，并分析不同迭代格式的收敛性原理:将线性方程f(x)=0化为一个同解方程x=φ(x),并且假设φ(x)为连续函数,任取初值x,代入方程得到 x=φ(x),x=φ(x)····x=φk+121001(x),k=0,1,2,····k称为求解非线性方程组的简单迭代法,称φ(x)为迭代函数,x称为第k步迭代k值.若{x}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散. k算法：（1）确定初值在B2和D2分别输入左端点a和右端点b在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。
（2）方程化为等价方程，并定义迭代格式（3）迭代输入初值x，输入迭代格式，并往下复制下去（4）在输入f的计算公式，往下复制下去，通过观察数值是否收敛，若收敛，则取收敛到后面的数值；若发散，则更改定义迭代格式，再重新重复以上步骤进行计算。
Excel实现:3-x+1x区间端点..a= -1 b= 0x f(x)-1 -1-0.9 -0.629-0.8 -0.312-0.7 -0.043-0.6 0.1840.375 -0.50.536 -0.40.673 -0.3-0.2 0.7920.899-0.1迭代式:x=(x-1)^1/3 kk+111 -0.4999938 1.374998448-0.4999979 12 1.374999483-0.4999993 13 1.374999828-0.4999998 14 1.374999943-0.4999999 15 1.374999981-0.5000000 1.374999994 16-0.5000000 171.374999998..18 -0.5000000 1.374999999-0.5000000 19 1.375-0.5000000 20 1.375-0.5000000 211.375f(x19)=1.375??1??（x满足下列两项条件：a，bC）不同迭代格式的收敛性：假定迭代函数??????(1)对任意，??b?a，bx有ax??,?则迭代过程（x）x??x??L对使对任意(2)存在正数L<1，，a，b1x有)(k1k?????????。
均收敛于方程x，bxx的根a于任意初值0?，若方程有根 (3)??，，???????????，x在?的某领域U（）内连续，则存在??0（，且）?1，只要0?（x?）收敛就有迭代法x。
k?1k1.3 Newton迭代法的原理和算法及Excel实现。
原理：Newton迭代法的基本思想是“以直代曲”，将f（x）=0在每一步近似为线性方程来求解，具体方法如下：将f（x）在x作Taylor一阶展开k'''2,§介于x和x)+1/2!f之间(§)(x-x). f(x)=f(x)+f(x)(x-x kkkkk略去上式中的二次项，得到线性方程，解出x，作为新的近似根x：k+1x=x-f(x)/f'(x),k=0,1,2,3······称为Newton迭代法kk+1kk算法:先假定方程的有根区间为[a,b]，计算[a,b]区间内各个点（整数点）的函数值，当函数值出现f（a）<0,f（b）>0时，[a,b]即为方程的有根区间。
将0000有根区间的长度若干等分，求出对应的点的函数值。
将此数据绘图，并根据所绘的图求得初始值。
求得方程f（x）的一次求导公式f′（x），得到迭代公式x=x-f（x）/f′（x），将初始值代入迭代公式中计算出下一项的x值，并计kkk+1k算对应的函数值，新的x值代入迭代公式中继续计算出下一项的x值，重复步骤，直到x的值相同不再变化，此x值即为方程的近似解。
Excel实现:迭代法求方程x^3-x-1确定初值..在B2和D2分别输入左端点a和右端点b在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。
方程化为等价方程，并定义迭代公式为x-(x^3-x-1)/3x^2-11.4上图知迭代初值区间端点21b= a=作图数据区 x f(x)1 -1-0.769 1.1-0.472 1.21.3-0.103..1.4 0.3441.5 0.8751.6 1.4961.72.2131.8 3.0321.9 3.9592 5迭代公式为 x-(x^3-x-1)/3x^2-1不动点迭代f(xk) kxk0.3441.41 1.329508197 0.0205199161.324739202 9.06038E-05 21.324717958 1.79368E-09 31.324717957 0 41.324717957 5F(x)=0,方程解为1.32471795742.1 线性方程组的数值求解的原理和算法及Excel实现。
Gauss消去法原理:(n)（n）(n)AA）通过初等行变化为（，丨b）bA将其增广矩阵设有线性方程组，（丨(n)(n)得Ax=b的解，在经过回代解除与原方程组同解的三角形方程组为上三角阵，到方程组的解。
算法：把方程组化为上三角形方程组，做消元的步骤，再做回带的步骤，解上三角形..方程组A(n)x=b(n)。
Excel实现：x+x-4x=1 412-x+4x2+x+3x=-2 413x+3x+5x-4x=-4 42132x+2x-3x=-2423Ab1 2 1 -4 0-2 -1 4 3 1-4 5 1 3 -4-2 -3 0 2 21 -4 0 1 2-1 1 -1 -1 6-5 0 1 5 1-2 2 0 -3 21 1 0 -4 2-1 -1610.166666667 4.833333333 0.166666667 -4.8333333330.333333333 0.333333333 -3 -0.333333333..1 2 0 -4 1 1-1 61-14.833333333 1 -4.833333333 -10 00.068965517 -3.011494253三角分解法原理：将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵的乘积A=LU，进而将原方程组的求解转化为两个三角形方程组的求解。
若有三角阵LU,使A=LU,则方程组Ax=b与方程组LUx=b等价，而后者等价于两个三角形线性方程组：Ly=b，Ux=y。
算法：将线性方程组的系数矩阵A分解为三角形方程组的乘积LU，称为矩阵A的LU 分解；再将线性方程组的求解转换为三角形方程组的求解。
A稠密-----LU分解法A对称-----LDL分解法A正定-----LL分解法A三对角线------追赶法Excel实现:新建Excel表格,依次按顺序输入矩阵数据一句矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵原理,依次从A-D列数据从下至上依照公式计算逆矩阵数据上三角形矩阵求逆U4 2 3 23 1 01 14-1 U0.4375 -0.5 0.25 -0.75-0.75 1 0-0.25 10.25..3.1 Lagrange插值的原理和算法及Excel实现；原理:将待求的n次多项式插值函数pn(x）改写成另一种表示方式，再利用插值条件⑴确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。
??，i?0，1.作直线方程：x y?f时，设n=1i i y?y01(x?x)y?y???????x?y?x)?yx?x?xy(x?0010010xx?011????xxy?y(x?x)??00x?x011??01，称L为两点式插值或线性插值. y?yL x?令0011xx?01x?xx?x??,i?0,x1,2y?f.时，设2n?令：1101x?xx?x0011ii????????????xxx?xx?x?xx?xxx?x???100221,?L x?y?yy????????????2012x?x?xxx?xx??xxxx?x121220200110L为三点式插值或抛物插值. 称2算法:先建立一个Excle数据表:插值节点D A B C xiEFHGyi插值点与函数计算值x L LLL (x) L 21330 a在单元格中输入插值点a求基函数L=(a-B)*(a-C)*(a-E)/(E-F)/(E-G)/(E-H)0..L=(a-A)*(a-C)*(a-D)/(F-E)/(F-G)/(F-H) 1以此类推求至L 再求出L(x).3,3再输入最后一个基函数L(x)的计算公式：=SUMPRODUCT公式得到f（x）的近似3值Excel实现:插值节点4 1 2 3 xi1720yi1815插值点与函数计算值L3L1 L2 L3(x)x L0-0.0625 2.5-0.06250.5625 0.562517.5作图数据区100 : 点数L3 L3(x) L0 x L1 L21811 00.0095545 18.295613 0.9458955 1.03 0.0877635 -0.0432135 0.018236 -0.0829080.8935641.06 0.17110818.5727040.0260715 0.8429785 1.09 0.2501145 18.831651 -0.1191645 0.033088 0.3248640.7941121.12 19.072832-0.1520640.0393125 0.3954375 0.7469375 1.15 19.296625 -0.1816875 19.5034080.7014281.18-0.2081160.4619160.044772..3.2 Newton插值的原理和算法及Excel实现。