2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ . (2)已知,且,则=__________ .(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.(4)欧拉方程的通解为__________ . (5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D) (8)设函数连续,且则存在,使得(A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少 (C)对任意的有 (D)对任意的有ln y x =1=+y x (e )e x x f x -'=(1)0f =()f x L 222=+y x ⎰-L ydx xdy 2)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B **2=+ABA BA E *A A E B X λ}{DX X P >+→0x dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβαγβα,,βγα,,γαβ,,αγβ,,()f x ,0)0(>'f 0>δ()f x )δ()f x )0,(δ-),0(δ∈x ()(0)f x f >)0,(δ-∈x ()(0)f x f >(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则 (D)若级数发散, 则存在非零常数,使得(10)设为连续函数,,则等于 (A) (B) (C) (D) 0(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A)(B)(C)(D)(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 (A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于∑∞=1n n a n n na ∞→lim ∑∞=1n n a λλ=∞→n n na lim ∑∞=1n n a ∑∞=1n n a 0lim 2=∞→n n a n ∑∞=1n n a λλ=∞→n n na lim ()f x ⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()()2(F '2(2)f (2)f (2)f -A A B B C =AQ C Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110,A B =AB O A ,B A ,B A ,B A ,B X (0,1),N )10(<<αααu αα=>}{u X P α=<}{x X P x(A) (B)(C) (D)(14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则(A) (B)(C) (D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设,证明.2αu 21α-u21α-u α-1u )1(,,,21>n X X X n .02>σ∑==ni i X n Y 1121Cov(,)X Y nσ=21Cov(,)X Y σ=212)(σnn Y X D +=+211)(σnn Y X D +=-2e e a b <<<2224ln ln ()eb a b a ->-(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)).100.66⨯=k(17)(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=∑)0(122≥--=z y x z(18)(本题满分11分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.10n x nx +-=n n x 1α>1n n x α∞=∑(19)(本题满分12分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(,)z z x y =2226102180x xy y yz z -+--+=(,)z z x y =(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩a(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A a A(22)(本题满分9分)设为随机事件,且,令求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和的相关系数,A B 111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=(,)X Y X Y .XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量X ,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββn X X X ,,,,121 >βX ββ2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可。

【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)=2)(ln 21x . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为 π23. 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221xc x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。

【详解】 令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-， ][11122222222dtdydt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=， 代入原方程，整理得02322=++y dt dydt y d ，解此方程，得通解为 .221221xc x c e c ec y t t+=+=-- 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令te x =，则欧拉方程)(222x f cy dx dybx dx y d ax=++， 可化为 ).(][22t e f cy dt dyb dt dy dty d a =++- 完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数学大串讲》P75例12.（5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B91. 【分析】 可先用公式E A A A =*进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简。