第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________．答案x23－y2＝1解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程为y＝±ba x，即ay±bx＝0，又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2＋b 2＝1，解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 24＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( )A. 3 B ．2 C.7 D ．3答案 A解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)，设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ，故(x ＋7)－(7－x )＝23，∴x ＝ 3.跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|＋|PQ|的最小值是________．答案 2解析由抛物线y2＝4x可知，其焦点坐标为F(1,0)，准线x＝－1，设点P到其准线的距离为d，根据抛物线的定义，可得d＝|PF|，则点P到y轴的距离为|PQ|＝|PF|－1，且|F A|＝12＋(22)2＝3，则|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PF|－1≥|F A|－1＝2(当且仅当A，P，F三点共线时取等号)，所以|P A|＋|PQ|的最小值为2.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x答案 C解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义，得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3.∴p ＝|FG |＝12|FC |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . 热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系． 例2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.32 D.22答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k >0，依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .∵cos ∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )， 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ，∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形．∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3c sin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋73 C ．(1,2)D.(]1，2答案 A 解析 根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|， 所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|， ||PF 1||－PF 2＝2a ， 所以⎝⎛⎭⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a， 而||PF 1>a ＋c ，即6ac 3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73. 跟踪演练2 (1)(2019·北京市海淀区模拟)椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1的离心率之积为1，则双曲线C 2的两条渐近线的倾斜角分别为( ) A.π6，－π6 B.π3，－π3 C.π6，5π6 D.π3，2π3答案 C解析 椭圆中a ＝2，b ＝1，所以c ＝3，所以其离心率为32， 设双曲线的离心率为e ，则e ×32＝1， 得e ＝233， 双曲线中e ＝c a ＝233，即c 2＝43a 2，又c 2＝a 2＋b 2， 所以43a 2＝a 2＋b 2，得a ＝3b ， 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，即y ＝±33x ， 所以两条渐近线的斜率为k ＝±33， 倾斜角分别为π6，5π6. (2)(2019·六安模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为e ，过点F 且斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，AB 中点为M ，若|FM |等于半焦距，则e 2等于( ) A. 3 B. 2 C.3或 2 D ．3－ 3答案 B解析 设双曲线的左焦点F (－c ,0)，则过F 点且斜率为1的直线方程为y ＝x ＋c ，与渐近线方程y ＝±b a x 联立可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b －a ，bc b －a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －b －a ，－bc －b －a ，故AB 中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2－a 2，b 2c b 2－a 2， 则有|FM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2－a 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c b 2－a 22＝2b 2c a 2－b 2＝c ， 即a 2＝(1＋2)b 2，b 2＝(2－1)a 2，c 2＝a 2＋b 2＝2a 2，e 2＝c 2a 2＝ 2. 热点三 圆锥曲线与圆、直线的综合问题圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点：(1)注意使用圆锥曲线的定义；(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组；(3)注意用好平面几何性质；(4)涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．例3 (1)(2019·六安联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，以A 为圆心，OA (O 为坐标原点)为半径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若PF 2⊥P A ，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为( )A ．1＋ 5B ．1＋ 3 C. 5 D. 3答案 A 解析 由题意可得|OA |＝a ，|AF 2|＝c －a ，因为PF 2⊥P A ，所以|PF 2|＝(c －a )2－a 2＝c 2－2ac ，又因点P 在双曲线的右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以|PF 2|＝2a ；因此c 2－2ac ＝2a ，即c 2－2ac ＝4a 2，所以e 2－2e －4＝0，解得e ＝1±5，因为e >1，所以e ＝1＋ 5.(2)(2019·南充模拟)已知直线x ＋y ＝1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其中O 为坐标原点)，若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，则椭圆长轴的取值范围是( ) A ．[5，6] B.⎣⎡⎦⎤52，62 C.⎣⎡⎦⎤54，32 D.⎣⎡⎦⎤52，3 答案 A 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得 (a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0，化为a 2＋b 2>1.x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b 2. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，∴2×a 2－a 2b 2a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0. 化为a 2＋b 2＝2a 2b 2.∴b 2＝a 22a 2－1. ∵椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22， ∴13≤e 2≤12， ∴13≤a 2－b 2a 2≤12，13≤1－12a 2－1≤12， 化为5≤4a 2≤6，解得 5 ≤2a ≤ 6.满足Δ>0.∴椭圆长轴的取值范围是[5，6]．跟踪演练3(1)(2019·合肥质检)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是()A.33 B.23 C.32 D.22答案 D解析因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1，又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，因为|OB|＝b，|OF2|＝c，所以b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，所以该椭圆的离心率e＝ca ＝22.(2)(2019·内江、眉山等六市模拟)设点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直，则点P到l的距离的最小值的取值范围是() A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1]D．(0,2]答案 B解析 抛物线C 的准线方程是x ＝－1，若点Q 的坐标为(－1,0)，此时直线l 的方程为x ＝－1， 显然点P 到直线l 的距离的最小值是1，若点Q 的坐标为(－1，t )，其中t ≠0，则直线OQ 的斜率为k OQ ＝t －0－1－0＝－t ， 直线l 的斜率为k l ＝－1k OQ ＝1t， 直线l 的方程为y －t ＝1t(x ＋1)， 即x －ty ＋t 2＋1＝0，设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为 x －ty ＋m ＝0，代入抛物线方程，得y 2－4ty ＋4m ＝0，所以Δ＝16t 2－16m ＝0，解得m ＝t 2，所以与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为 x －ty ＋t 2＝0，所以点P 到直线l 的距离的最小值为直线x －ty ＋t 2＋1＝0与直线x －ty ＋t 2＝0的距离，即d ＝|t 2＋1－t 2|12＋t 2＝11＋t 2， 因为t 2>0，所以0<d <1，综合两种情况可知点P 到直线l 的距离的最小值的取值范围是(0,1].真题体验1．(2018·全国Ⅱ，文，6)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x答案 A解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又∵离心率ca＝a 2＋b 2a＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a (a >0，b >0)． ∴渐近线方程为2ax ±ay ＝0，即y ＝±2x .2．(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C.3－12D.3－1 答案 D解析 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且焦距|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，由椭圆的定义，可知2a ＝(1＋3)c ， 所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.3．(2019·全国Ⅱ，文，12)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 A解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c ，所以|PQ |＝2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A.押题预测1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x －2y ＋1＝0平行，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B.52 C.32D. 3 答案 B解析 由双曲线的渐近线与直线x －2y ＋1＝0平行， 可得双曲线的渐近线的方程为y ＝12x ，即b a ＝12， 所以双曲线的离心率为 e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋14＝52. 2．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D ．4答案 C解析 设A (2t 21，2t 1)，B (2t 22，2t 2)．由OA ⊥OB ，得2t 12t 21·2t 22t 22＝－1，得出t 1t 2＝－1.当直线AB 的斜率不存在时，2t 1＋2t 2＝0， 此时t 1＝－t 2，则AB 的方程为x ＝2，焦点F 到直线AB 的距离为2－12＝32，∵k AB ＝2t 1－2t 22t 21－2t 22＝1t 1＋t 2，得直线AB 的方程为y －2t 1＝1t 1＋t 2(x －2t 21)． 即x －(t 1＋t 2)y －2＝0. 令y ＝0，解得x ＝2. ∴直线AB 恒过定点D (2,0)．∴抛物线的焦点F 到直线AB 的距离小于32，综上，焦点F 到直线AB 距离的最大值为32.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33xD ．y ＝±3x答案 B解析 ∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ， ∴以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，设B 点在第一象限，坐标为(x ，y )，且到x 轴的距离为h ， 由对称性知△ABC 的面积 S ＝2S △OBC ＝2×12ch ＝ch ＝2a 2，即h ＝2a 2c ，即B 点的纵坐标为y ＝2a 2c ，则由x 2＋⎝⎛⎭⎫2a 2c 2＝c 2，得x 2＝c 2－⎝⎛⎭⎫2a 2c 2＝c 2－4a 4c 2， 因为点B 在双曲线上，则c 2－4a 4c 2a 2－4a 4c 2b2＝1，即c 2a 2－4a 2c 2－4a 4c 2(c 2－a 2)＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2·c 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－1＝4a 2c 2－a 2＝c 2－a 2a 2， 得4a 4＝(c 2－a 2)2，即2a 2＝c 2－a 2，得3a 2＝c 2，得c ＝3a ，b ＝2a . 则双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .A 组 专题通关1．(2019·岳阳模拟)已知抛物线y 2＝－45x 的准线l 经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F ，且该双曲线的一条渐近线经过点P (1，－2)，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝1 答案 B解析 抛物线y 2＝－45x 的准线为x ＝5，所以，双曲线的焦点F (5，0)，即c ＝5， 双曲线的一条渐近线经过点P (1，－2)， 则－ba＝－2，再由c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝1，b 2＝4，c 2＝5， 因此所求的双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1. 2．(2019·北京市海淀区模拟)抛物线W ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线x ＝－3的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 依题意，得F (1,0)，抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离， 因为点A 到直线x ＝－3的距离是线段AF 长度的2倍，所以点A 到直线x ＝－3的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍， 设A 点横坐标为x 0，则有x 0＋3＝2(x 0＋1)，解得x 0＝1， 所以|AF |＝1－(－1)＝2.3．(2019·江西九校联考)两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是26，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的离心率等于( ) A.133 B.132 C.32D ．2 答案 B解析 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝10，ab ＝24，a >0，b >0，b >a ，解得a ＝4，b ＝6，∴c ＝213，∴e ＝c a ＝132.4．(2019·邯郸模拟)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512 mB.256 mC.95 mD.185 m 答案 D解析 以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py (p >0)经过点(6，－5)，则36＝10p ，解得p ＝185，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝185.5．(2019·天津市和平区质检)设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为( ) A ．2 B. 3 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m ，又离心率为2，即41n＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的渐近线方程为y 2－x 23＝0，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d ＝|23|1＋3＝ 3.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( ) A.45 B.23 C.12 D.25 答案 B解析 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理，得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2csin π3＝2R ，∴R ＝233c ，∵R ＝4r ，∴r ＝36c ， 由余弦定理，得()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3，可得|PF 1||PF 2|＝43()a 2－c 2， 则由三角形面积公式12()|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a 2－c 2·32，整理得3c 2＋ac －2a 2＝0， 即3e 2＋e －2＝0， ∵0<e <1，∴e ＝c a ＝23.7．(2019·六安联考)已知直线l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点P 在椭圆x 22＋y2＝1上运动，则△P AB 面积的最大值为( ) A ．6 B.3(3＋2)2C.3(3－3)2D.3(3＋3)2答案 D解析 因为l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ， 所以A (3,0)，B (0,3)，因此|AB |＝32， 又点P 在椭圆x 22＋y 2＝1上运动，所以可设P (2cos θ，sin θ)， 所以点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋sin θ－3|2＝|3sin (θ＋φ)－3|2≤|－3－3|2＝3＋32(其中tan φ＝2)， 所以S △P AB ＝12|AB |d ≤3(3＋3)2.8．(2019·泸州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与圆x 2＋y 2＝a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|BF 2|，则C 的离心率为( ) A.5＋2 3 B ．5＋2 3 C. 3 D. 5答案 A解析 由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AB |＝|BF 2|，可得|AF 1|＝2a ， 则|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，cos ∠BF 1F 2＝c 2－a 2c＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－|AF 2|22|AF 1|·|F 1F 2|＝4a 2＋4c 2－16a 22·2a ·2c ，化简可得c 4－10a 2c 2＋13a 4＝0， 由e ＝ca 可得e 4－10e 2＋13＝0，解得e 2＝5＋23， 可得e ＝5＋2 3.9．(2019·广东省六校联考)设F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为k (k >0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|F A |＝3|FB |，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．1 C. 2 D.3 答案 D解析 假设A 在第一象限，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ，E ， 过A 作EB 的垂线，垂足为C ，则四边形ADEC 为矩形， 由抛物线定义可知|AD |＝|AF |， |BE |＝|BF |， 又∵|F A |＝3|FB |，∴|AD |＝|CE |＝3|BE |，即B 为CE 的三等分点， 设|BF |＝m ，则|BC |＝2m ，|AF |＝3m ，|AB |＝4m ， 即|AC |＝|AB |2－|BC |2＝16m 2－4m 2＝12m ＝23m ，则tan ∠ABC ＝|AC ||BC |＝23m2m ＝3，即直线AB 的斜率k ＝ 3.10．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 答案 B解析 由题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋4， 代入y 2＝4x ，消去x 可得y 2－4my －16＝0，Δ＝16m 2＋4×16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 所以△ABF 的面积S ＝12|MF |·|y 1－y 2|＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝3216m 2＋64 ≥32×8＝12，所以△ABF 的面积的最小值为12.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，且(F 1P →＋F 1Q →)·PQ →＝0.过双曲线C 的右顶点作平行于双曲线C 的一条渐近线的直线l ，若直线l 交线段PQ 于点M ，且|QM |＝3|PM |，则双曲线C 的离心率e 等于( )A ．2 B. 3 C.53 D.32答案 C解析 因为(F 1P →＋F 1Q →)·PQ →＝0， 所以|PF 2|＝|QF 2|，F 1F 2⊥PQ .因为|QM |＝3|PM |，所以M 是线段PF 2的中点．又直线l 过双曲线C 的右顶点且平行于双曲线C 的一条渐近线，|PF 2|＝b 2a ，所以12·b 2ac －a ＝b a ，化简可得b ＝2(c －a )，所以c 2－a 2＝4(c －a )2， 所以3e 2－8e ＋5＝0，结合e >1解得e ＝53.12．已知A (3,0)，若点P 是抛物线y 2＝8x 上任意一点，点Q 是圆(x －2)2＋y 2＝1上任意一点，则|P A |2|PQ |的最小值为( ) A ．3 B ．43－4 C ．2 2 D ．4 答案 B解析 设P (x ，y )，由抛物线方程y 2＝8x ，可得抛物线的焦点坐标为F (2,0)， 由抛物线定义得|PF |＝x ＋2， 又|PQ |≤|PF |＋|QF | ＝|PF |＋1， 所以|P A |2|PQ | ≥|P A |2|PF |＋1＝(x －3)2＋8x x ＋3＝x 2＋2x ＋9x ＋3，当且仅当P ，Q ，F 三点共线时(F 点在PQ 之间)，等号成立， 令x ＋3＝t (t ≥3)，则x 2＋2x ＋9x ＋3＝(t －3)2＋2(t －3)＋9t ＝t ＋12t －4≥2t ×12t－4＝43－4，当且仅当t ＝23，即x ＝23－3时，等号成立．13．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 答案 (3，15)解析 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15， 所以M 的坐标为(3，15)．14．(2019·北京市海淀区模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1和双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1(m >0)．经过C 1的左顶点A 和上顶点B 的直线与C 2的渐近线在第一象限的交点为P ，且|AB |＝|BP |，则椭圆C 1的离心率e 1＝________；双曲线C 2的离心率e 2＝________. 答案322解析 椭圆中a ＝2，b ＝1， 所以c ＝3，离心率为e 1＝32， A (－2,0)，B (0,1)，直线AB 的方程为y ＝12x ＋1，因为|AB |＝|BP |，所以B 为AP 的中点，设P (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －22＝0，0＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即P (2,2)，双曲线的渐近线为y ＝1m x ，点P 在渐近线上，所以2＝1m ×2，所以m ＝1，双曲线中a ＝1，b ＝1，所以c ＝2， 离心率为e 2＝ 2.15．(2019·济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为椭圆的下顶点，P 为过点F 1，F 2，B 的圆与椭圆C 的一个交点，且PF 1⊥F 1F 2，则ba的值为________．答案5－12解析 设过F 1，F 2，B 三点的圆的圆心为M ， ∵PF 1⊥F 1F 2，∴ PF 1是通径的一半，|PF 1|＝b 2a ，∵PF 1是圆M 中的一条弦，∴根据圆的对称性可知圆心的坐标M ⎝⎛⎭⎫0，b22a ， ∵|MB |2＝|MF 1|2＝R 2，∴⎝⎛⎭⎫b 22a 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎫b 22a ＋b 2，整理得ac 2＝b 3＋ab 2，∵c 2＝a 2－b 2，∴a (a 2－b 2)＝b 3＋ab 2， 整理得b 2＋ab －a 2＝0， ∴⎝⎛⎭⎫b a 2＋b a －1＝0， 解得b a ＝5－12(舍去负根)．16．(2019·山东师范大学附属中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥FB ，设∠ABF ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫π12，π4，则双曲线C 的离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′， AF ⊥FB ，可得四边形AFBF ′为矩形， 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，即有|AF ′|＝|BF |＝n ， 且m 2＋n 2＝4c 2，n －m ＝2a ， tan θ＝m n，e 2＝c 2a 2＝4c24a 2＝m 2＋n 2m 2－2mn ＋n 2＝11－2mn m 2＋n 2＝11－2m n ＋n m＝11－2tan θ＋1tan θ，由θ∈⎝⎛⎭⎫π12，π4，可得t ＝tan θ∈(2－3，1)， 则t ＋1t ∈(2,4)，可得2t ＋1t ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 即有1－2t ＋1t ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则11－2tan θ＋1tan θ∈(2，＋∞)，即有e ∈(2，＋∞)．B 组 能力提高17．(2019·河南省十所名校联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ，P ，使得四边形OPFQ 为矩形，则其离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6 答案 A解析 依据题意作出图象，其中四边形OPFQ 为矩形，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以直线OQ 的方程为y ＝a b x ，直线QF 的方程为 y ＝－ba(x －c )，联立直线QF 与直线OQ 的方程可得⎩⎨⎧y ＝－ba(x －c )，y ＝a b x ，解得⎩⎨⎧x ＝b 2c，y ＝abc ，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2c ，ab c ，又点Q 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，所以⎝⎛⎭⎫b 2c 2a2－⎝⎛⎭⎫ab c 2b2＝1，整理得c 2＝3a 2，所以e ＝ca ＝c 2a 2＝ 3. 18．(2019·宜宾模拟)已知直线l 过点M (0,3)，l 与抛物线y ＝x 2交于E ，F 两点，当l 不与y 轴垂直时，在y 轴上存在一点P (0，t )，使得△PEF 的内心在y 轴上，则实数t ＝________. 答案 －3解析 设直线l ：y ＝kx ＋3(k ≠0)， 代入y ＝x 2并整理得x 2－kx －3＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝k ≠0，x 1x 2＝－3， 设内心I (0，m )，k PE ＝y 1－t x 1＝x 21－t x 1，直线PE ：y ＝x 21－t x 1x ＋t ，内心I 到直线PE 的距离d 1＝|－m ＋t |⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21－t x 12＋1，同理可得内心I 到直线PF 的距离d 2＝|－m ＋t |⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－t x 22＋1，依题意d 1＝d 2，即|－m ＋t |⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21－t x 12＋1＝|－m ＋t |⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－t x 22＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21－t x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－t x 22，∴x 21－t x 1＝－x 22－t x 2， ∴x 1－t x 1＋x 2－tx 2＝0，(x 1＋x 2)－t (x 1＋x 2)x 1x 2＝0，∵x 1＋x 2＝k ≠0，∴1－t x 1x 2＝0，∴1－t－3＝0，∴t ＝－3.。