令正交矩阵 ，则 ，上述正交矩阵T所得正交变换 即为所求-----------（12分）
3、此二次型矩阵特征值有负值，，故二次型不正定。--------------------（14分）
六、
1、证明： -------------（3分）
，故 可逆，且 ----（5分）
2、证明：因为 为正交矩阵且 ， ------------（1分）
-------（4分）
，故 -----------------（5分）
六 证明题
1、若 阶矩阵 满足 ，求证 可逆，并求 。
2、设五阶正交矩阵 满足 ，求证：矩阵 的秩 。
线性代数A参考答案及评分标准
一、填空
1、负；46。2、4；2； 与 。
3、 ； 。4、 。
5、 6、 。
7、0； 。8、 ；2； 。
二、计算
1、 --（3分）=
--------------（5分）= ------------------（6分）
得到齐次线性方程组的基础解系
三、 --------（2分）
故 时， ，方程组有解---------（4分）
此时方程组的一般解为： ，得一个特解
导出组的一个基础解系， -----------------（10分）
通解为 （ ， 为任意常数）…（12分）
四、 ，
得到 的特征值 ---------------（4分）
三（12 ）设线性方程组 ，当 为何值时 能与对角形矩阵相似，求参数 的值。
五（14 ）二次型
（1）写出二次型的矩阵 。
（2）用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换 以及二次型的标准形。
（3）此二次型是否正定，说明理由。
5．四阶矩阵 的行列式 则 ， ， 的列向量组线性关。
6．
7． 则 。又若 则 。
8．三阶矩阵 的行列式 矩阵 不可逆， 则 的三个特征值为。实对称矩阵 与 相似，则 ，二次型 的规范形为。
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二 计算题
1、求行列式值 (其中 )
2、三阶矩阵 ，矩阵 满足 ，化简此矩阵方程并求矩阵 。
3、设四阶矩阵 ，问 取何值时矩阵 的秩 ，并在 时求出齐次线性方程组 的一个基础解系。
2、解：原式两边左乘 得 ，所以 ---------（2分）
------（4分）， ---------（7分） --------（8分）
3、解：由 --------------------------------（1分）＝ ----（2分），所以 --------------------（1分）
-------------------------（3分）
时， ，所以 ，
从而 属于特征值1有两个线性无关的特征向量，
因此 有三个线性无关的特征向量。
所以 ， 能够与对角形矩阵相似。-------（8分）
五、解：1、 ---------------（2分）
2、据题意 的特征值为 -------（4分）
时，得标准正交向量 -----------（8分）
时，得 ---------------（10分）
线性代数期末考试试题A及解答
学年第2学期线性代数A试题
考试时间:阅卷教师:
考试班级学号姓名成绩
一 填空
1．五阶行列式 展开式中有一项为 ，此项前面应带的符号为。三阶行列式 第二行元素的代数余子式之和 =。
2．向量组 = ， ，当
时线性相关，此时 ，其中一个极大无关组为。
3．若 ， ，则 ， 。
4． 若 ，则 。