江宁区高级中学 2019—2020学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．直线l ：x a ＋yb ＝1中，a ∈{1，3，5，7}，b ∈{2，4，6，8}．若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( )A ．6B ．7C ．8D ．162.为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用2K 独立性检验法算得2K 的观测值为5，又已知()2 3.8410.05P K ≥=，()2 6.6350.01K P ≥=，则下列说法正确的是A ．有99%以上的把握认为“X 和Y 有关系”B ．有99%以上的把握认为“X 和Y 没有关系”C ．有95%以上的把握认为“X 和Y 有关系”D ．有95%以上的把握认为“X 和Y 没有关系” 3.在(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50的展开式中，x 3的系数为( )A ．C 351B ．C 450 C ．C 451D ．C 4474.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )A ．150B ．200C ．300D ．4005．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)6.若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数7.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )A ．360种B ．300种C ．150种D ．125种8．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种（二）多项选择题:本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：A.函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛21-3-，内单调递增； B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； C.函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内单调递增； D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值．则上述判断正确的是( )10．已知点A (1，2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0 C ．4x －y ＋7＝0 D ．3x －2y ＋1＝0 11. 4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是21.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是( )A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名C.恰有两支球队并列第一名的概率为41 D.只有一支球队名列第一名的概率为21 12.若nxx )1(+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( ) A ．第3项 B ．第4项C ．第5项D ．第6项13．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是____________14．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为_____15.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．16.将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)=____________，P(B|A)=_____________三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题．(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；(3)若直线方程ax＋by＝0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？18．（本小题满分12分）已知(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．19.（本小题满分12分）某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )图象过点P (1,2)，且f (x )在点P 处的切线与直线y ＝8x ＋1平行．(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )≤m ＋5m 在[－1,1]上恒成立，求正数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i ＝1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w821()ii xx =−∑821()ii w w =−∑81()()ii i xx y y =−−∑81()()iii w w yy =−−∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，w =1881i i w =∑．（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =−．根据（2）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==−−=−∑∑，ˆˆv u αβ=−．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝a ln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的极值；(3)若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．江宁区高级中学 2019—2020学年度第二学期期中考试答案高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1．直线l ：x a ＋yb ＝1中，a ∈{1，3，5，7}，b ∈{2，4，6，8}．若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( )A ．6B ．7C ．8D ．16答案：B2.为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用2K 独立性检验法算得2K 的观测值为5，又已知()2 3.8410.05P K ≥=，()2 6.6350.01K P ≥=，则下列说法正确的是A ．有99%以上的把握认为“X 和Y 有关系”B ．有99%以上的把握认为“X 和Y 没有关系”C ．有95%以上的把握认为“X 和Y 有关系”D ．有95%以上的把握认为“X 和Y 没有关系” 答案：C3.在(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50的展开式中，x 3的系数为( )A ．C 351B ．C 450 C ．C 451D ．C 447答案：C4.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C5．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α) 答案：B6.若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数答案：C7.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )A ．360种B ．300种C ．150种D ．125种 答案：C8．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种 答案：A（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：A.函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛21-3-，内单调递增；B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； C.函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内单调递增；D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值． 则上述判断正确的是( ) 答案：B,C10．已知点A (1，2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( )A ．6x －y －4＝0B ．x －4y ＋7＝0C ．4x －y ＋7＝0D ．3x －2y ＋1＝0 答案：A,D11. 4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是21.单循环比赛结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件B.有可能出现恰有三支球队并列第一名C.恰有两支球队并列第一名的概率为 41D.只有一支球队名列第一名的概率为21 答案：C,D12.若nxx )1(+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项D ．第6项答案：C,D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是____________ 答案：0.4214．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为_____ .答案：115.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________． .答案：4516.将三颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )=____________，P (B |A )=_____________A ．6091，12B ．12，6091C ．518，6091D ．91216，12解析：P (A |B )的含义是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，即n (B )＝91，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有6×5×4－5×4×3＝60(种)情况，即n (AB )＝60，所以P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝6091.P (B |A )的含义是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不相同”共有6×5×4＝120(种)情三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题． (1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数； (3)若直线方程ax ＋by ＝0中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？解析：(1)5×6×6×6×3＝3 240(个)．(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有A 13A 23＝18(个)； 当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有A 12A 34＝48(个)；当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有A 13A 12A 13A 23＝108(个)；故共有18＋48＋108＝174(个)．(3)a ，b 中有一个取0时，有2条；a ，b 都不取0时，有A 25＝20(条)； a ＝1，b ＝2与a ＝2，b ＝4重复，a ＝2，b ＝1与a ＝4，b ＝2重复． 故共有2＋20－2＝20(条)．18．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．解析：(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n ＝4n ， 展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意，知4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0.∴(2n ＋31)(2n －32)＝0. ∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数， ∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝27032x .(2)展开式通项公式为T r ＋1＝C r 53r·(x 23)5－r (x 2)r ＝C r 5·3r ·34310rx+假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92.∵r ∈N *，∴r ＝4.∴展开式中系数最大项为T 5＝C 45·34·x 103＋4×43＝405326x19.某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．解析：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，得P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－38×⎝⎛⎭⎫1－23＝9196.(2)记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则X ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，∴E (X )＝10×9196＝45548.而Y ＝20X －10×(10－X )＝30X －100，∴E (Y )＝30E (X )－100＝1 4758≈184. 20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )图象过点P (1,2)，且f (x )在点P 处的切线与直线y ＝8x ＋1平行．(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )≤m ＋5m 在[－1,1]上恒成立，求正数m 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝2，f ′(1)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝2，3＋2a ＋b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.∴a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3＋4x 2－3x ，若f (x )≤m ＋5m 在[－1,1]上恒成立，只需f (x )max ≤m ＋5m .∵f ′(x )＝3x 2＋8x －3，∴令f ′(x )>0，解得x >13或x <－3，则f (x )在13，＋∞和(－∞，－3)上单调递增； 令f ′(x )<0，解得－3<x <13，则f (x )在－3，13上单调递减． ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，13上单调递减，在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增， 又f (－1)＝－1＋4＋3＝6，f (1)＝1＋4－3＝2， ∴f (x )max ＝6.则m ＋5m ≥6.由m >0，得m 2－6m ＋5≥0，解得m ≥5或0<m ≤1.故正数m 的取值范围为(0,1]∪[5，＋∞)．21．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i ＝1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w821()ii xx =−∑821()ii w w =−∑81()()ii i xx y y =−−∑81()()iii w w yy =−−∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，w =1881i i w =∑．（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =−．根据（2）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==−−=−∑∑，ˆˆv u αβ=−． 解析：（1）由散点图可以判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． （2）令w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8ˆ681.6()iii ii w w y y dw w ==−−===−∑∑，ˆˆ56368 6.8100.6c y dw=−=−⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668yw =+，因此y 关于x 的回归方程为 ˆ100.668yx =+． （3）（ⅰ）由（2）知，当49x =时，年销售量y 的预报值ˆ100.66849576.6y=+= 年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯−=． （ⅱ）根据（2）得结果知，年利润z 的预报值ˆ0.2(100.668)13.620.12zx x x x =+−=−++． 所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，ˆz 取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。