返回
A1D2＋DE2－A1E2 10 ∴cosA1DE＝ ＝ ＝ 5 . 2·A1D·DE 10 . ∴直线 B1C 与 DE 所成角的余弦值是 5 (2)证明：取 B1C 的中点 F，B1D 的中点 G，连接 BF，EG， 证明： 证明 ， ， ， ， GF. ∵CD⊥平面 BCC1B1， ⊥ 且 BF⊂平面 BCC1B1，∴DC⊥BF. ⊂ ⊥
返回
4．(2011·长沙模拟 在正方体 ． 长沙模拟)在正方体 长沙模拟 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与 － 与 对角面DD 对角面 1B1B所成角的大小是 所成角的大小是 A．15° ． ° C．45° ． ° B．30° ． ° D．60° ． ° ( )
返回
解析：如图所示，连接 交 于 解析：如图所示，连接AC交BD于 O点，易证AC⊥平面 1B1B，连 点 易证 ⊥平面DD ， 即为B 与对角 接B1O，则∠CB1O即为 1C与对角 ， 即为 2 面所成的角，设正方体边长为a， 面所成的角，设正方体边长为 ，则B1C＝ 2a，CO＝ 2 a， ＝ ， ＝ ， 1 ∴∠CB ＝ ∴sin∠CB1O＝2.∴∠ 1O＝30°. ∠ ＝ ∴∠
返回
1. (2011·陕西八校联考 如图，E、F分别 陕西八校联考)如图 陕西八校联考 如图， 、 分别 是三棱锥P－ 的棱AP、 的中点 的中点， 是三棱锥 －ABC的棱 、BC的中点， 的棱 PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线 ＝ ， ＝ ， ＝ ， AB与PC所成的角为 与 所成的角为 A．30° ． ° C．60° ． ° ( B．45° ． ° D．90° ． ° )
返回
又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C，∴BF⊥平面 B1CD. ⊥ ， ∩ ＝ ， ⊥ 1 1 又∵GF 綊 CD，BE 綊 CD， ， ， 2 2 BE， 是平行四边形， ∴GF 綊 BE，∴四边形 BFGE 是平行四边形， ∴BF∥GE，∴GE⊥平面 B1CD. ∥ ， ⊥ ∵GE⊂平面 EB1D， ⊂ ， ∴平面 EB1D⊥面 B1CD. ⊥
怎 么 考 1.本节内容在高考中多考查直线与平面所成的角、二面角 本节内容在高考中多考查直线与平面所成的角、 本节内容在高考中多考查直线与平面所成的角 的求法． 的求法． 2.题型以解答题为主，多与空间中的平行、垂直关系相结 题型以解答题为主，多与空间中的平行、 题型以解答题为主 合进行考查. 合进行考查
返回
(2)如图，作CF⊥PB于F，连接 、DF. 如图， 如图 ⊥ 于 ，连接AF、 ∵△PBC≌△PBA， ≌ ， ∴AF⊥PB，AF＝CF. ⊥ ， ＝ ∴PB⊥平面 ⊥平面AFC. ∴平面AFC⊥平面 平面 ⊥平面PBC，交线是 ，交线是CF. 在平面PBC内的射影为直线 ，∠ACF为AC 内的射影为直线CF， ∴直线AC在平面 直线 在平面 内的射影为直线 为 与平面PBC所成的角． 所成的角． 与平面 所成的角 返回
答案： 答案：B
返回
1．线面角的问题 ． (1) 线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是基本思 线面角涉及斜线的射影， 路要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系． 路要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系． (2) 求直线与平面所成的角的一般过程为： 求直线与平面所成的角的一般过程为： ①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在 通过射影转化法，作出直线与平面所成的角； 三角形中求角的大小． 三角形中求角的大小．
返回
解析： 中点D，连接DE、 ， 解析：取AC中点 ，连接 、DF，则∠EDF为AB与PC 中点 为 与 所成的角，利用余弦定理可求得∠ 所成的角，利用余弦定理可求得∠EDF＝120°.所以异面 ＝ ° 所以异面 直线AB与 所成的角是 所成的角是60° 直线 与PC所成的角是 °. 答案： 答案：C
返回
解析： ∴∠B 所成的角， 解析：∵AB∥A1B1，∴∠ 1A1C1是AB与A1C1所成的角， ∥ 与 所成的角为30° ∴AB与A1C1所成的角为 °. 与 ∴∠BB 是 所成的角， ∵AA1∥BB1，∴∠ 1C是AA1与B1C所成的角， 所成的角 由已知条件可以得出BB 由已知条件可以得出 1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a， ， ， ＝ ， ∴B1C1＝BC＝a. ＝ 是正方形． ∴BB1C1C是正方形．∴∠ 1C＝45°. 是正方形 ∴∠BB ＝ ° 答案： ° 答案：30° 45° °
[精析考题 精析考题] 精析考题 济南模拟)三棱锥 [例2] (2012·济南模拟 三棱锥 －ABC 例 济南模拟 三棱锥P－ 与底面ABC垂直，PA＝ 垂直， ＝ 中，侧面PAC与底面 侧面 与底面 垂直 PB＝PC＝3. ＝ ＝ (1)求证：AB⊥BC； 求证： ⊥ ； 求证 (2)设AB＝BC＝2 3，求AC与平面 设 ＝ ＝ ， 与平面PBC所成角的大小． 所成角的大小． 与平面 所成角的大小
返回
返回
1．异面直线所成的角 ． (1)定义：设 a、b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直 定义： 定义 、 是两条异面直线，
锐角(或直角 或直角) 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角 或直角 ′ ， ′ ， ′ ′
所成的角(或夹角 或夹角)． 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 或夹角 ． π (2)范围：(0， ]． 范围： ， ． 范围 2
答案： 答案：C
返回
3.如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中， 如图， 如图 ∠ABC＝60°，将菱形沿对角线 AC ＝ ， 折起， 折起，使折起后 BD＝1，则二面角 ＝ ， B－AC－D 的余弦值为 － － 1 A. 3 2 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 2 ( )
返回
解析： 解析：在原平面图中连接 AC 与 BD， ， 交于 O 点，则 AC⊥BD，由原四边 ⊥ ， 形 ABCD 为菱形且边长为 1，则 DO ， 3 ＝OB＝ .由于 DO⊥AC，BO⊥AC，因此在折起后的图中 ＝ 由于 ⊥ ， ⊥ ， 2 如图)． ∠DOB 就是二面角 B－AC－D 的平面角 如图 ．由 BD＝1 － － 的平面角(如图 ＝ 3 3 OD2＋OB2－DB2 4＋4－1 1 得 cosDOB＝ ＝ ＝ ＝ . 2OD·OB 3 3 3 2· · 2 2 答案： 答案：A
返回
[自主解答 (1)连接 1D，则由 1D∥ 自主解答] 连接A ，则由A ∥ 自主解答 连接 B1C知，B1C与DE所成角即为 1D与D 所成角即为A 与 知 与 所成角即为 E所成的角．连接A1E，由正方体 所成的角 连接 所成的 ，由正方体AB CD－A1B1C1D1，可设其棱长为 ，则A1D＝ 2 a，A1E＝ － 可设其棱长为a， ＝ ， ＝ 5 DE＝ 2 a， ＝ ，
在等腰Rt△ 在等腰 △ABC中， 中 ， ∵AB＝BC＝2 3，∴DA＝DC＝DB＝ 6. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 在Rt△PDC中， △ 中 ∵PC＝3，∴PD＝ 3. ＝ ， ＝ 3× 6 × PD·DB 在Rt△PDB中，DF＝ PB ＝ 3 ＝ 2， △ 中 ＝ ， DF 2 3 在Rt△FDC中，tanACF＝DC＝ ＝ 3 ， △ 中 ＝ 6 ∴∠ACF＝30°，即AC与平面 ＝ ， 与平面PBC所成角的大小为 所成角的大小为30°. ∴∠ 与平面 所成角的大小为
π 线和平面所成的角分别为 2和0 . π (2)线面角的范围为[0， ] ． 线面角的范围为 ， 2
返回
4．二面角 ． (1)二面角：从一条直线 出发的两个半平面 二面角： 二面角 所组成的图形叫做二面角． 所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 二面角的棱 . 两个半平面叫做二面角的面． 两个半平面叫做二面角的面． 如图，记作： 如图，记作：α-l-β或α-AB-β或P-AB-Q. 或 或
返回
[自主解答 自主解答] 自主解答
(1)证明：如图，取AC中点 ，连接 、BD. 证明：如图， 中点D，连接PD、 证明 中点
∵PA＝PC，∴PD⊥AC. ＝ ， ⊥ 又已知平面PAC⊥平面ABC， ⊥平面 又已知平面 ， 为垂足． ∴PD⊥平面 ⊥平面ABC，D为垂足． ， 为垂足 ∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC. ＝ ＝ ， ＝ ＝ 的外接圆直径， 故AC为△ABC的外接圆直径， 为 的外接圆直径 ∴AB⊥BC. ⊥
返回
(2)二面角的平面角： 二面角的平面角： 二面角的平面角 如图，二面角 如图，二面角α-l-β， ， 若有① ∈ ， 若有①O∈l， ②OA⊂α，OB⊂β， ⊂ ， ⊂ ， ③OA⊥l，OB⊥l， ⊥， ⊥， 就叫做二面角α-l-β的平面角． 的平面角． 则∠AOB就叫做二面角 就叫做二面角 的平面角
返回
2. 已知长方体 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中， － AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线 1 ＝ ＝ ， ，则直线BC 和平面DBB1D1所成的角的正弦值为 和平面 ( 3 A. 2 10 C. 5 5 B. 2 10 D. 10 )
返回
解析： 解析：连接 A1C1，交 B1D1 于 O，则 ， C1O⊥平面 DBB1D1.连接 OB，则∠ ⊥ 连接 ， 的正弦值即为所求． C1BO 的正弦值即为所求． 因为 BC1＝ 16＋4＝ 20， ＋ ＝ ， 1 C1O＝ 16＋16＝2 2， ＝ ＋ ＝ ， 2 10 OC1 2 2 . 所以 sinC1BO＝ ＝ ＝ ＝ 5 BC1 20
返回
2．二面角的问题 ． 求二面角的平面角时，同样归结到三角形中去， 求二面角的平面角时，同样归结到三角形中去， 但在求解时要注意二面角的平面角的取值范围． 但在求解时要注意二面角的平面角的取值范围．
返回
返回
[精析考题 精析考题] 精析考题 [例1] (2012·杭州模拟 如图，已知 例 杭州模拟)如图 杭州模拟 如图， 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 正方体 － 为 AB的中点．(1)求直线 1C与DE所 的中点． 求直线 求直线B 与 所 的中点 成的角的余弦值； 成的角的余弦值； (2)求证：平面EB1D⊥平面 1CD. 求证：平面 求证 ⊥平面B