电台2 640 1000 1660
– 660 I1=0.015
电台3 1026 1611 1034
577 I2=0.017
I(f ) I0
I1 3.0% I0
I2
I2 3.4%
I1
I0
0 640 820 1100 f / kHz
选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，形状愈尖选择性愈好。 若LC不变，R大，曲线平坦，选择性差。
t

Im
sin0
t
uC

Im
0C
sin(0t
90)

L C
Im
cos
0t

U Cm
sin(0t

90)
wC

1 2
CuC2

1 2
LI
2 m
cos 2 0t
电场能量
wL

1 2
Li 2

1 2
LI
2 m
sin2
0t
磁场能量
WLm=WCm
w总

wL
wC

1 2
LI
2 m

（b） 通用谐振曲线
ω ω η, I(ω) I(ω)
ω0
I(ω0 )
I(ω) U / | Z |


I(ω0 ) U / R
R

R2 (L 1 )2
C

1

1 (ω0 L ω 1 ω0 )2
R ω0 ω0 RC ω
1
1 (L 1 )2 R RC
1
（并联谐振）
当Z()=0，即分子为零
ω23 L1L3C2 ω2 ( L1 L3 ) 0 可求得
ω2
L1 L3 L1 L3C 2
（串联谐振）
（1<2）
图（b）电路：
Z(ω1 )

1
jC

jL1

1
jC 2
jL1

1
jC 2

1
jC 3

jL1
1 ω2 L1C 2
指数正弦形电流
i(t ) Ie t sin(t )
可引入一复指数函数来表示它。由欧拉公式：
可见
Ie tej(t ) Ie t cos(t ) Ie t sin(t )
i Im[Ie tej(t ) ] Im[Iej e( ] jt )
R
0
0

3. 电流I 达到最大值I0=U/R（U一定）。 4. 电压 UR U, UL UC 0
当0L=1/(0C)>>R时， UL= UC >>U
I R
+
U
+ U R
_
+ U_L
jL
_
UC+_
1 jω C
串联谐振又称电压谐振。
UL
UR U
I
UC
旦发生谐振，会因过电压而损坏设备绝缘。
五、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
1. 阻抗的频率特性（frequency characteristic）
Z

R

j(ωL

1 ωC
)
|
Z
(ω)
|
φ
(ω)
| Z(ω) |
R2

(L

1
C
)2

R2 (X L XC )2
R2 X 2
Z

R

j(L

1
C
)

R

j( X
L

XC
)
|
Z
|

U _
j L
当L 1 , 感性
1
C
jω C
当L 1 , 即 容性
串联谐振（Series Resonance）
C
ω0
根据 1 谐振的谐定振义角频ωL率（1rCeson0ant即anguωlLarfre1Cquency）
1 2
CU
2 Cm
即:能量交换只在L，C之间进行 ，与电源间无能量交换。
wL
wC
w总
i
uC
四、特性阻抗和品质因数
1. 特性阻抗（characteristic impedance）

0L

1
0C

L C
仅由电路参数决定。
2. 品质因数（quality factor）Q
单位：
Q ω0 L 1 1 L

(ω
)

tg
1
L

1
C

tg 1
XL
XC
tg 1
X
幅频特性
R
R
R
|Z()|
|Z()|
XL() X()
()
/2
相频特性
R
0
0
XC()

0
0

–/2
2. 电流谐振曲线
谐振曲线：电压、电流与频率的关系。
幅值关系：
I(ω)
U
R2

(L

1
C
)2
I( )
U/R1
U/R2
0
0

3. 选择性与通用谐振曲线 （a）选择性（selectivity）
若RLC串联电路中，有不同频率的电压源同时作用时，
则接近谐振频率0 的电流将可能大于其它偏离谐振频率的
电流而被选择出来，这种性能在无线电技术中称为“选择 性”。
I()
0
0

例
R
+
u1_
+ u2
_
+ u3
第11章 电路的频率特性
重点
11. 1 串联电路的谐振 11. 2 并联电路的谐振 11. 3 串并联电路的谐振 11. 4 复频率和相量法的推广 11. 5 网络函数 11. 6 滤波器的概念 11. 7 无源滤波器 11. 8 有源滤波器
本章重点
• 电路发生谐振的条件 • 谐振电路的特点 • 谐振频率的计算 • 相量法的拓广 • 网络函数 • 频率特性 • 滤波器的概念
C
当 R L时, 不可能发生谐振。 C
当电路发生谐振时，电路的入端阻抗为
Z(ω0 )
R2
(ω0 L)2 R

L RC
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11.3 串并联电路的谐振
由纯电感和电容所构成的串并联电路
L3
C3
L1
C2
L1
C2
（a） 定性分析
（b）
电路既可以发生串联谐振（Z=0），又可以发生并联谐 振（Z=）。有两个谐振点。
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11.2 并联电路的谐振
一、简单 G、C、L 并联电路
+
并联谐振
IS
U G C L （Parallel Resonance）
_
对偶：
R L C 串联
Z

R

j(L

1
C
)
ω0
1 LC
G C L 并联
Y G j(C 1L)
ω0
1 LC
R L C 串联
|Z|
R
IL(0) =IC(0) =QIS Q ω0C 1 1 C
G ω0GL G L
Q推导过程如下：
由定义得
Q

2π
1 2
CU
2 Cm
T GU 2
2πf0
C G

ω0C G
二 、电感线圈与电容并联
I
+ R IL
IC
U
jL
1
jC
-
IC
I
U
IL
谐振时的电压、电流相量图


j
1 ω2 L1 (C2 C3 )
C3 (1 ω2 L1C2 )
当Z()=，即分母为零 C3 (1 ω2 L1C2 ) 0
ω1
1 L1C 2
并联谐振
当Z( )=0，即分子为零
1 ω2 L1(C2 C3 ) 0
ω2
1 L1 (C 2 C 3 )
串联谐振
定量分析：
图（a）电路：
Z(ω) jL3

jL1
(
1
jC
2
)
jL1

1
jC 2


j L3

L1 ω2 L1C 2

1

j
ω3
L1
L3C2 ω(L1 ω2 L1C2 1

L3 )
当Z()=，即分母为零
ω12 L1C 2 1 0
ω1
1 L1C2
+
u1(t)
u2(t)
_
解 下图LC滤波网络可满足设计要求
C3
L1
+ u1(t)
_
+ C2 R u2(t)
_
取 ω2
1 ，使L1和C2发生并联谐振，此时L1和C2 L1C 2
并联支路阻抗为，相当于开路，负载端没有2电压分量。
取 ω1
1
电路发生串联谐振，虚框内呈短
L1 (C2 C3 )
1 (Q ω Q ω0 )2
ω0
ω
令＝ / 0 ，可得
I(η )
I0
1 1 Q 2 (η 1 )2