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二次函数专题讲座
一、定义型问题
1、小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y=a 2x 2+b 2x+c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=﹣x 2+3x ﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=﹣x 2+4x ﹣3可知，a 1=﹣1，b 1=4，c 1=﹣3，根据a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）直接写出函数y=﹣x 2+4x ﹣3的“旋转函数”；
（2）若函数2335y x mx =-+-与23y x nx n =-+互为“旋转函数”，求2015415m n +（）
的值； （3）设点A （m,n ）在抛物线上L ：2y ax bx c =++的图像上，证明：点A 关于原点的对称点在抛物线L 的“旋转函数”上。

（4）已知函数1142
y x x =-+（）(﹣）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试证明经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数1142
y x x =-+（）(﹣）互为“旋转函数”。

2、如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y=x2+px+q ，我们称
[p ，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？
二、几何图形与二次函数问题
如图，已知二次函数）1＜
-1
（+
y2的图象与x轴交于A、B两点（点
）
=
x
m
＜
m
（其中
m
-x
A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC
（1）求∠ABC的度数；
（2）证明：△PAC是等腰直角三角形；
（3）在坐标轴上，是否存在点Q，使得△CBQ与△PAC全等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
三、二次函数中的面积最值问题
如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x
的函数表达式，并求S的最大值．
四、二次函数中的线段最值问题
如图，抛物线2－bx +x 2
1=y 2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点P 是抛物线上对称轴l 上的一个动点，当PC+PA 的值最小时，求点P 的坐标．
(或问当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标及△PAC 周长的最小值)
五、实际问题与二次函数
某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克不低于成本，且不高于80元。

经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入－成本）
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？。