高数第二章导数与微分知识点总结第一节 导数1．基本概念 （1）定义0000000000()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x yf x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数0'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-. 0'00000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.（3）导数的几何应用曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=--. 2．基本公式（1）'0C = （2）'1()a a x ax -=（3）()'ln xxa a a =（特例()'xxe e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-（11）2(arcsin )'1x x=- （12）2(arccos )'1x x=-（13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （152222[ln()]'x x a x a++=+3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2''()'u u v uv v v-= （2）复合函数求导法则--链式法则设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.例5 求函数21sin xy e=的导数.（3）反函数的求导法则设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则11'()'()'(())g y f x f g y ==. （4）隐函数求导设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x yF y F =-.（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式： （1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =（2） ()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+（3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+（4）()1(1)(1)n n nn x x --+=-+ （5）()()(1)(2)(1)k n k n x k k k k n x -=---+（6）莱布尼茨公式：()()()()nn k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v == 第二节 微分1．定义背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.注：,y dy x dx ∆≠∆= 2．可导与可微的关系一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =. 3．微分的几何意义 4．微分的计算（1）基本微分公式'()dy f x dx =. （2）微分运算法则 ②四则运算法则()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2()u vdu udvd v v-= ②一阶微分形式不变若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.练习题1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ； （2）xx y sin =； （3）bx e y axsin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x xx y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y=+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy与二阶导数22dx y d 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ； （2）21arcsin xx y -=。

6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-= )37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (xx x x x x y -='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=')cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y])(211[1222222'+++++=a x a x a x x]2211[12222x ax ax x ⋅++++=]1[12222ax x ax x ++++=221ax +=。

（5）解：)11()11(11)11(arctan2'-+-++='-+='x x x x x x y11)1()1()1()1(2)1(2222+-=-+--⋅+-=x x x x x x 。

（6）解：)(])1[(1ln '='+='+x xx xe xx y ]1ln )1()1()1([)1(2x x x x x x x x x x x +-+-+⋅++=)1ln 11()1(xx x x x x +-++=。

2、（1）解：两边直接关于x 求导得0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y )sin(sin )sin(cos y x x y x x y y ++++-='。

（2）解：将0=x代入原方程解得,1=y原方程两边直接关于x 求导得 0='++'y x y y e y ，上方程两边关于x 再次求导得 ,02)(2=''+'+''+'y x y y e y e y y将0=x ，,1=y 代入上边第一个方程得1)0(--='e y ，将0=x，,1=y 1)0(--='e y 代入上边第二个方程得2)0(-=''e y 。

3、解：),cos 1(t a dt dx -=t a dt dy sin =； 2cot )cos 1(sin tt a t a dt dx dt dy dx dy =-==； 2csc 41)cos 1(1)212csc ()(4222t a t a t dx dt dx dy dt d dxy d -=-⋅-=⋅=。

4、（1）解：1-='ααx y ；2)1(--=''αααx y ；……依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-n x n y n n αααα 。

（2）解：设,,2sin 2x v x u==则)50,,2,1)(22sin(2)( =⋅+=k k x uk k π，),50,,4,3(0,2,2)( ===''='k v v x v k代入萊布尼茨公式，得2)2482sin(2!249502)2492sin(250)2502sin(2)2sin (4849250)50(2)50(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+==πππx x x x x x x y )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=。

5、（1）解：),1(ln )(ln +='='x x e y x x x dx x x dy x )1(ln +=.（2）解：]122arcsin 111[112222xx x x x x y --⋅----='2322)1(arcsin 1x x x x -+-=；='=dx y dy dx x x x x 2322)1(arcsin 1-+-。