平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。

求该消费者的间接效用函数。

并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。

并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。

解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。

将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。

从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。

2．某个消费者的效用函数是()12212,u x x x x =，商品1和2的价格分别是1p 和2p ，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：12212max x x x x ，1221..s x m p p x t +=构造该问题的拉格朗日函数：()2121122x m p p L x x x λ+-=-拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：121120Lx x p x λ∂=-=∂ ① 21220Lx p x λ∂=-=∂ ② 11220Lm p x p x λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：11222p x x p =④ 把④式代入③式中得：()11212,,3mx p p m p *=⑤ 把⑤式代入④式中得：()2122,,3mx p p m p *=⑥ ⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。

将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：()2322211244,,3927x y m m m V p p m p p p p =⨯=由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：()12321231212273,,242p p u e p p u p p u ⎛⎫= ⎪⎝⎭3．试根据间接效用函数()1212,,mv p p m p p =+求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示收入。

解：由间接效用函数可得：()2112v m p p p ∂=-∂+，()2212v m p p p ∂=-∂+，121v m p p ∂=∂+。

根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中1i =或2）：()2121112121mp p v p mx v yp p p p -+∂∂=-=-=∂∂++ ()2122212121mp p v p mx v yp p p p -+∂∂=-=-=∂∂++4．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。

假定他的选择决策只依赖于其效用函数12u x x =，这里()212,x x R +∈。

已知北京的物价为()12,aa pp ，上海的物价为()12,b b p p ，并且1212a a b b p p p p =，但11a b p p ≠，22a b p p ≠。

又知广州的物价为()()()12112211,22c c a b a b p p p p p p ⎛⎫=++⎪⎝⎭，。

若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？解：老人的效用最大化问题为：12121122max ..x x x x s t p x p x m+=，构造该问题的拉格朗日函数：()()12121212,,L x x x x m x p p x λλ+--=拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：211x ∂1220Lx p x λ∂=-=∂ ② 11220Lm p x p x λ∂=--=∂ ③ 由①②③三式求解，可得：()1121,,2m x p p m p =，()2122,,2m x p p m p =。

将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数：()21212,,4m v p p m p p =于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：2114a a a m v p p =2114b b b m v p p = 2114c c c m v p p = 因为1212a a b bp p p p =，所以a b v v =。

又因为1122121122121222a b a bcc a b a b a a b bp p p p p p p p p p p p p p ++=⋅≥==，由于已知1122a b a bp p p p ≠≠，，所以该不等式的等号并不成立，则有c a b v v v <=。

综合上述分析可知：若该退休老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。

5．（1）设12u x x =，这里()212,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数()12,,e p p u 。

（2）又设12ln ln u x x '=+，这里，()212,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数()12,,e p p u ''。

（3）证明：()()1212,,,,e p p u e p p u ''=，其中ln u u '=。

答：（1）消费者的支出最小化问题为：12112212max x x p x p x s t x x u+..=，构造该问题的拉格朗日函数：()()12112212L x x p x p x u x x λλ=++-，，拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：1210Lp x x λ∂=-=∂ ① 2120Lp x x λ∂=-=∂ ②12λ∂由上述三式解得：12211up x p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，12122up x p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭。

把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：()()()1212121212,,22e p p u p p u p p u ==（2）消费者的支出最小化问题为：12112212min ..ln ln x x p x p x s t x x u ++='，构造该问题的拉格朗日函数：()()12112212,,ln ln L x x p x p x u x x λλ=++'--拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：1110L p x x λ∂=-=∂ ① 2220L p x x λ∂=-=∂ ② 12ln ln 0Lu x x λ∂='--=∂ ③ 由①②③三式可解得：12211u p x e p '⎛⎫= ⎪⎝⎭，122122u p x e p '⎛⎫= ⎪⎝⎭。

把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：()()12121212,,22u u e p p u p p e p p e ''''==（3）证明：12ln 12121212ln 222ln ln u uu x x u u p p e p p e p p u u x x '=⎫⇒'=⇒==⎬'=+⎭根据（1）与（2）的结果，可得()()1212,,,,e p p u e p p u ''=。

6．设某消费者的间接效用函数为()12112,,mv p p m p p αα-=，这里1α0<<。

什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为()12112,,mv p p m p p αα-=，从中反解出m 关于1p 、2p 和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：()112,e p u up p αα-=根据谢泼特引理，可知物品1的希克斯需求函数为：()()()111221111,,up p e p u p h p u u p p p αααα--∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂⎝⎭7．考虑含n 种商品的Cobb-Douglass 效用函数()1in i i u x A x α==∏，这里0A >，11ni i α==∑。

（1）求每种商品的马歇尔需求函数。

（2）求消费者的间接效用函数。

（3）计算消费者的支出函数。

（4）计算每种商品的希克斯需求函数。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：()1211max inni x x x i n i i i u x A x s t p x yα===∏..=∑，构造该问题的拉格朗日函数：11i n ni i i i i L A x y p x αλ==⎡⎤=+-∑∏⎢⎥⎣⎦拉格朗日函数对i x ()1,2,i n =和λ分别求偏导数得：101,2,j i i i j i j i iL A x x p i n x αααλ-≠∂=-==∏∂10n i i i Ly p x λ=∂=-=∑∂ ①从前n 个等式可知，对任意的i 和j ，都有如下关系成立：i j ij i jx p i j x p αα=≠从而得到，对任意的j i ≠都有：j i ij i jp x x p αα=把这1n -个等式代入①式中，就有：0j i ii i j i ip x y p x αα≠--=∑即：()1i ii j i i i i j i i i p p p x p x y αααα≠⎛⎫⎡⎤+=+-=∑ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦从而解得商品的马歇尔需求函数为：1,2,ii iy x i n p α==（2）把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中，就得到了消费者的间接效用函数：()()()11,,i inn i ii i i i y v p y u x p y A Ay p p αααα==⎛⎫⎛⎫===∏∏ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）从间接效用函数中反解出y 关于1p 、2p 和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：()1,i n i i i p u e p u A αα=⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅∏ ⎪ ⎪⎝⎭= ⎪ ⎪⎪⎝⎭（4）把支出函数两边取对数，得：[]{}1ln ln ln ln ln ni i i i e u A p a α==-+-∑上式关于i p 求导得：1ii ie e p p α∂⋅=∂ 再根据谢泼特引理()()(),,i ie p u x h p u p ∂=∂得到消费者对物品的希克斯需求函数为：()11,,1,2,3,,j ij j h i j i j j j j i p p ex e p u uA j n p p ααααα--≠⎛⎫⎛⎫∂==== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∏8．以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。