一、基础达标
1.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2
n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大
值是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1.
当且仅当a i ＝x i ＝n
n (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. 故a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案 A
2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数的和的乘积的最小值是( ) A.1
B.n
C.n 2
D.1n
解析 设n 个正数是x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得
(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1
x 2＋…＋1x n
≥⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2
＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2.
当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时，等号成立. 答案 C
3.若则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1的最小值为( )
A.－25
B.－5
C.5
D.25
解析 由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(a 22＋a 23＋…＋a 2n ＋a 21)≥(a 1a 2＋a 2a 3
＋…＋a n －1a n ＋a n a 1)2，
∴|a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1|≤5. ∴－5≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤5，
故所求最小值为－5.选B. 答案 B
4.若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A.1 B.6 C.11
D.611
解析 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2＋1＋13
≥⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ·12＋y ·1＋3z ·132＝(x ＋y ＋z )2＝1. ∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1
1
2＋1＋13
＝
6
11，
当且仅当x ＝311，y ＝611，z ＝2
11时，等号成立. ∴2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为6
11. 答案 D
5.设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫
4a ＋9b ＋36c 的最小值是________.
解析 (a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫
4a ＋9b ＋36c
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2
≥⎝
⎛
⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.
当且仅当a 2＝b 3＝c
6时，等号成立. 答案 121
6.设x ，y ，z ∈R ，2x ＋2y ＋z ＋8＝0，则(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2的最小值为________.
解析 2x ＋2y ＋z ＋8＝0⇒2(x －1)＋2(y ＋2)＋(z －3)＝－9.
考虑以下两组向量：u ＝(2，2，1)，v ＝(x －1，y ＋2，z －3)，由柯西不等式，
得(u·v )2≤|u |2·|v |2； 即2≤(22＋22＋12)·.
所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥（－9）29
＝9，
当且仅当x ＝－1，y ＝－4，z ＝2时，等号成立，此时取得最小值9. 答案 9
7.已知α1，α2，…，αn 是平面凸n 边形的内角的弧度数，求证：1α1
＋1α2
＋…＋1
α
n
≥n 2
（n －2）π
. 证明 由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn )⎝ ⎛⎭⎪⎫1α1＋1
α2＋…＋1αn
≥⎝
⎛
⎭⎪⎫α1·1α1＋α2·1α2＋…＋αn ·1αn 2＝n 2. ∵α1＋α2＋…＋αn ＝(n －2)π， ∴1α1＋1α2＋…＋1αn ≥n 2
（n －2）π
， 当且仅当α1＝α2＝…＝αn ＝n －2
n π时，等号成立. 二、能力提升
8.已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( ) A.3 B.3 2 C.18
D.9
解析 由柯西不等式得 (
3a ＋1＋
3b ＋1＋
3c ＋1)2≤(1＋1＋1)·(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)
＝3.
∵a ＋b ＋c ＝1，∴(
3a ＋1＋
3b ＋1＋
3c ＋1)2≤3×6＝18，
∴3a ＋1＋3b ＋1＋
3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时等号成立.
答案 B
9.已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c ＞0，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最小值为( ) A.1
B.3
C.6
D.9
解析 ∵a ＋b ＋c ＝1，
∴2
a ＋
b ＋2
b ＋
c ＋2
c ＋a
＝2(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝·
⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立. 答案 D
10.已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________.
解析 由柯西不等式，得(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2， 即x 2
＋y 2
＋z 2
≥8214＝327，当且仅当x 2＝y
3
＝z 时，等号成立.
又2x ＋3y ＋z ＝8，解得x ＝87，y ＝127，z ＝4
7， 故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
87，127，47.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
87，127，47
11.在△ABC 中，设其各边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2
)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2. 证明 ∵a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ， ∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1
sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.∴原不等式成立.
12.已知二次三项式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1x 2＝1时，必有f (x 1)f (x 2)≥1.
证明 f (x 1)f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 2
2＋bx 2＋c )
≥2
＝f 2(x 1x 2)＝f 2(1)＝1. 故f (x 1)f (x 2)≥1. 三、探究与创新
13.设x 1，x 2，x 3，…，x n 都是正实数，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝S . 求证：x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n S －x n ≥S n －1.
证明 法一 根据柯西不等式，得 不等式左边＝x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n
S －x n
＝·1
（n －1）S ·
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21S －x 1＋x 22S －x 2
＋…＋x 2
n S －x n ＝1（n －1）S ·
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫x 1
S －x 12＋⎝
⎛⎭⎪⎫x 2
S －x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n
S －x n 2≥
1（n －1）S
⎣⎢⎡⎝
⎛⎭⎪⎫S －x 1·
x 1
S －x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
S －x 2·
x 2
S －x 2＋…＋
⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫S －x n ·
x n
S －x n 2＝1（n －1）S
(x 1＋x 2＋…＋x n )2 ＝1（n －1）S ·S 2＝S
n －1＝不等式右边. 故原不等式成立.
法二 ∵a ＞0，∴a ＋1
a ≥2，
∴a ≥2－1
a ，当且仅当a ＝1时，等号成立.
∴x 2i
S －x i ＝x i
n －1·（n －1）x i S －x i ≥x i n －1·⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2－S －x i （n －1）x i ＝2x i n －1－S －x i （n －1）2，i ＝1，2，…，n .
n 个式子相加，有x 21S －x 1＋x 22S －x 2＋…＋x 2n
S －x n ≥2x 1n －1＋2x 2n －1＋…＋2x n
n －1－
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤S －x 1（n －1）2＋S －x 2（n －1）2＋…＋S －x n （n －1）2＝2S n －1－nS －S （n －1）2
＝S n －1
.。