《信息论基础》模拟试卷一、填空题（共15分，每空1分）1、信源编码的主要目的是 ，信道编码的主要目的是 。
2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二是 。
3、三进制信源的最小熵为 ，最大熵为 。
4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为 。
5、当 时，信源与信道达到匹配。
6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为 和 。
7、根据是否允许失真，信源编码可分为 和 。
8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是 时，信源具有最大熵，其值为值 。
9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤〉”或“〈”（1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ） H(X)+H(X/Y) H(Y)+H(X)。
（2）()()1222H X X H X = ()()12333H X X X H X =（3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。
在无噪有损信道中，H(X/Y) 0, H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。
二、（6分）若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。
三、（16分）已知信源1234560.20.20.20.20.10.1S s s s s s s P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L ;（4分）（3）计算编码信息率R ';（2分）（4）计算编码后信息传输率R ;（2分） （5）计算编码效率η。
（2分）四、（10分）某信源输出A 、B 、C 、D 、E 五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。
如果符号的码元宽度为0.5s μ。
计算： （1）信息传输速率t R 。
（5分）（2）将这些数据通过一个带宽为B=2000kHz 的加性白高斯噪声信道传输，噪声的单边功率谱密度为6010Wn Hz-=。
试计算正确传输这些数据最少需要的发送功率P 。
（5分）五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为()()()()1121122221|,|,|1,|033P S S P S S P S S P S S ====。
(1) 画出状态转移图。
(4分)(2) 计算稳态概率。
(4分)(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。
(4分)(4) 计算稳态下1H ,2H 及其对应的剩余度。
(4分)六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。
试求这种信道的信道容量。
XY七、(16分)设X 、Y 是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。
定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。
试计算 (1) ()(),;H X H Z (2) ()(),;H XY H XZ (3) ()()|,|;H X Y H Z X (4) ()();,;I X Y I X Z ;八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为120.80.2X x x P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为[]12,Y yy =，信道传输概率如下图所示。
1x 2x 1y 2y(1) 计算信源X 中事件1x 包含的自信息量； (2) 计算信源X 的信息熵；(3) 计算信道疑义度()|H X Y ； (4) 计算噪声熵()|H Y X ；(5) 计算收到消息Y 后获得的平均互信息量。
《信息论基础》参考答案一、填空题（共15分，每空1分）1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。
2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。
3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。
4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r (S)）。
5、当R=C 或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。
6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。
7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。
8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或()222x f x σ-时，信源具有最大熵，其值为值21log 22e πσ。
9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤〉”或“〈”（1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。
（2）()()1222H X X H X =≥()()12333H X X X H X =（3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。
在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。
二、（6分）若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。
()1,2640,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩Q 其它()()()62log f x f x dx ∴=-⎰相对熵h x=2bit/自由度该信源的绝对熵为无穷大。
三、（16分）已知信源1234560.20.20.20.20.10.1S s s s s s s P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L ;（4分） （3）计算编码信息率R ';（2分）（4）计算编码后信息传输率R ;（2分） （5）计算编码效率η。
（2分）（1）010101111.00.20.20.20.20.10.11S 2S 3S 4S 5S 6S编码结果为：1234560001100101110111S S S S S S ======（2）610.420.63 2.6i i i L P ρ===⨯+⨯=∑码元符号（3）bit log r=2.6R L '=符号（4）() 2.53bit 0.9732.6H S R L===码元其中，()()bit 0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1 2.53H S H ==符号 （5）()()0.973log H S H S L rLη===评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2，平均码长最短四、（10分）某信源输出A 、B 、C 、D 、E 五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。
如果符号的码元宽度为0.5s μ。
计算： （1）信息传输速率t R 。
（5分）（2）将这些数据通过一个带宽为B=2000kHz 的加性白高斯噪声信道传输，噪声的单边功率谱密度为6010Wn Hz-=。
试计算正确传输这些数据最少需要的发送功率P 。
（5分）解：（1）()()1t X R H X H Y t ⎡⎤=-⎣⎦()61111log 4log882211log8log 22231log 2log 2222log 22bit 24100.5t H X bit R bpssμ=-⨯-=+=+====⨯ （2）66662410210log 1102101226P PP W -⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⨯⨯⎝⎭+==五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为()()()()1121122221|,|,|1,|033P S S P S S P S S P S S ====。
(1) 画出状态转移图。
(4分)(2) 计算稳态概率。
(4分)(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。
(4分)(4) 计算稳态下1H ,2H 及其对应的剩余度。
(4分) 解：(1)113(2)由公式()()()21|i ijjj P S P S S P S ==∑有()()()()()()()()()()()21112122211122|31|31i i i i i i P S P S S P S P S P S P S P S S P S P S P S P S ==⎧==+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩∑∑得()()123414P S P S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3)该马尔可夫信源的极限熵为：()()()2211|log |322311log log433433110.578 1.599240.6810.4720.205i j i j i i j H P S P S S P S S bit nat hart ∞===-=-⨯⨯-⨯⨯=⨯+⨯===∑∑符号符号符号(4)在稳态下：()()213311log log log 0.8114444i i i P x P x bit =⎛⎫=-=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭∑符号20.2050.4720.681H H hart nat bit ∞====符号符号对应的剩余度为1100.811110.1891111log log 2222H H η=-=-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2200.681110.3191111log log 2222H H η=-=-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。
试求这种信道的信道容量。
XY解：信道传输矩阵如下|11002211002211002211022Y XP ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为()()111log 4,,0,022log |log |11log 42log221Lj i j i j C H L p y x p y x bit=⎛⎫=- ⎪⎝⎭=+=+⨯=∑七、(16分)设X 、Y 是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。
定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。
试计算 (1) ()(),;H X H Z (2) ()(),;H XY H XZ (3) ()()|,|;H X Y H Z X (4) ()();,;I X Y I X Z ; 解：(1)()11,122H X H bit ⎛⎫== ⎪⎝⎭31(2),0.811344H H bit ⎛⎫== ⎪⎝⎭(2) ()()()112H XY H X H Y bit =+=+=对()()()()1111|11,0, 1.52222H XZ H X H Z X H H bit ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭对(3) ()()|1H X Y H X bit ==()()1111|1,0,0.52222H Z X H H bit ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(4) ()()()()(),|0I X Y H Y H Y X H Y H Y =-=-=()()(),|0.81130.50.3113I X Z H Z H Z X bit =-=-=八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为120.80.2X x x P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为[]12,Y y y =，信道传输概率如下图所示。