（0, 1, 1） （1, 0, 1）
（1, 1, 0）
倍数化为最小整数u，v，w，
则[ u v w ]为该晶向的指数 。
图1-30 确定晶向指数
如图1-30所示。
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16
举
例
试确定正交晶系中OD和BC的晶向指数
1/2 D c 1/4 C
O
b
a
A B
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1/3
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图1-31 确定晶向指数
＋（1 1 2）＋（1 1 2）＋（1 2 1）＋
（1 2 1）＋（1 2 1）＋（2 1 1）＋（2 1 1）
＋（2 1 1）
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Z
Z
Z
Y
Y
Y
X
X
X
图1-36 立方晶系{1 0 0}晶面族
Z Z Z Z Z Z
X
Y X
YX
YX
Y X
Y
X
Y
图1-37 立方晶系{1 1 0}晶面族
[ u v w ]即为AB晶向的晶向指数。如u、v、w中某一数为负值，
则将负号标注在该数的上方。
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待标晶向不经过原点时，也
可以选取该晶向上两点的坐
标：起点P（x1，y1，z1）和 终点Q（x2，y2，z2），然后 将（x2-x1），（y2-y1）， （z2-z1）三个数乘以最小公
晶向指数的确定步骤
⑴ 以晶胞某一阵点为原点，三棱边为 坐标轴X、Y、Z，并以晶格常数的 长度作为三个坐标的单位长度。 ⑵ 过原点作一直线 OP，使其平行于待 标志的晶向 AB（图 1-29），这一 直线必定会通过某些阵点。
图1-29 确定晶向指数示意图
⑶ 在直线OP上选距原点O最近的一个阵点P，确定P点的坐标值。 ⑷ 将此值乘以最小公倍数化为最小整数u、v、w，加上方括号，
为晶向。用晶向指数[ u v w ]表示。
晶面：晶体中由一系列原子组成的平面称为晶面。
用晶面指数（h k l）表示。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取
向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力
学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、 晶向有密切的关系。
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为了区分不同的晶面和晶向，需要有一个统一
<111>, 称为密排方向。 在面心立方晶格中, 密排面为{111}, 密排方向为 <110>。
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返 回
32
5. 晶面间距
一组平行晶面中，相邻两 个平行晶面之间的距离叫 晶面间距。 两近邻平行晶面间的垂直 距离，用 dhkl 表示。 低指数晶面的面间距较大， 高指数晶面的面间距较小。
第三讲
金属的晶体结构Ⅲ
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1
上讲内容回顾
晶系
布拉菲点阵
三种典型的金属晶体结构：bcc、fcc、hcp
● 原子排列方式
● 原子半径
● 原子个数
● 配位数和致密度
晶体中的原子堆垛方式及间隙
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2
第一章 金属的晶体结构
§1-1 金属 §1-2 金属的晶体结构
§1-3 实际金属的晶体结构
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5
6. 晶体中的原子堆垛方式及间隙
⑴ 晶体中的原子堆垛方式 ⑵ 晶体中的间隙
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6
⑵ 晶体中的间隙
bcc晶格中的间隙 fcc晶格中的间隙
hcp晶格中的间隙
11/23/2和hcp都是密排结构，而bcc则是比较“开 放”的结构，因为它的间隙较多。因此，C、
z
y
x
正交点阵中几个晶向的晶向
指数如图1-32所示。
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图1-32 正交点阵中几个晶 向的晶向指数
20
晶向族
概念：指的是原子排列相同而空间位向不同的所有
晶 向称为晶向族，用＜u v w＞ 表示。 在立方晶系中，＜111＞共有8个晶向组成： [111]、[111]、[ 111]、[111] [111]、[111]、[ 111]、[111]
由于bcc的八面体间隙是不对称的，即使上述间
隙原子占据八面体间隙位臵，也只引起距间隙中
心为的两个原子显著地偏离平衡位臵，其余4个 原子则不会显著地偏离其平衡位臵，因而总的点 阵畸变不大。因此，在有些bcc金属中，间隙原 子占据四面体间隙位臵（如C在Mo中），在另
一些bcc晶体中，间隙原子占据八面体间隙位臵
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晶面族
在同一种晶体结构中，原子排列情况完全相同，只
是空间位向不同的晶面属于一个晶面族，用{ h k l } 表示。
晶面族不仅包括了相互平行的一组晶面，而且也包
括了位向不同，但晶面间距相等、原子排列相同的
若干组平行晶面。
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26
立方晶系中（只有在立方系中，才有如此排列组合）
（如碳在α-铁中）。
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fcc和hcp中的八面体间隙远大于bcc中的八 面体或四面体间隙，因而间隙原子在fcc和
hcp中的固溶度往往比在bcc中大得多。
fcc晶格在八面体间隙和四面体间隙的形状
与hcp晶格的完全相似，当原子半径相等时，
间隙大小完全相等，只是间隙中心在晶胞 中的位臵不同。
18
确定BC的晶向指数 建立坐标系，如图1-31所示。 ⑴ 确定坐标：B （a, b/3, 0） C（0, b, c/4） 取数值B （1, 1/3, 0） C（0, 1, 1/4） ⑵ 求坐标差：（0－1），（1－1/3），
c
O a B 1/3 图1-31 确定晶向指数 b 1/2 D Z
（1/4 －0）。即－1，2/3，1/4
Z Z Z Z Y X X Y X Y X Y
图1-38 立方晶系{1 1 1}晶面族
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28
3. 六方晶格是晶向指数和晶面指数
上述指数表示方法，原则上适 用于任意晶系。
对六方晶系，取a，b，c为晶 轴，而a轴与b轴的夹角为 120°，c轴与a，b轴相垂直， 如图1-39所示。
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Y
举 例
⑴ 建立坐标系：如图1-34所示；
⑵ 量截距 x = 3a/4，y = b/4， z= c/3
Z
取
x = 3/4，y = 1/4， z= 1/3；
1/3
⑶ 求倒数： 4/3，4， 3 ⑷ 乘最小公倍数3得最小的整数 4，12，9 ⑸ 放入圆括号内：（4 12 9 ）
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3
§1-2 金属的晶体结构
一、晶体的特性（基础） 二、晶格与晶胞（基础） 三、三种典型的金属晶体结构（重点） 四、晶向指数与晶面指数（重点） 五、多晶型性
作 业
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三、三种典型的金属晶体结构
1. 晶系 2. 布拉菲点阵 3. 体心立方晶格（bcc） 4. 面心立方晶格（fcc） 5. 密排六方晶格（hcp） 6. 晶体中的原子堆垛方式及间隙
至间隙中心的距离都是
6 a 如图1-28所示。 4
， 6
4
a
间隙半径：
rx =
6
a 1 2 a ≈0.112a 4
间隙位臵：如图所示。
间隙数量：
1×8＋1/3×12=12 个
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图1-28 hcp晶格的四面体间隙
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12
四、晶向指数与晶面指数
晶向：晶体中任意两个原子之间连线所指的方向称
Z
X3 O A
（0 1 1 0） X2 [1120]
六方晶格的晶向指数[u v t w]， 其中，u＋v＋t = 0。
六方晶格的晶面指数（h k i l）, h＋k＋i = 0。 确定方法于立方晶系相同。
X1
图1-40 六方晶格晶面 晶向确定方法
立方晶系中判断晶向与晶面垂直或平行关系式仍然适 用于六方晶系。如[0 0 0 1]⊥（0 0 0 1），[1 1 2 0]位
｛1 0 0｝=（1 0 0）＋（0 1 0）＋（0 0 1）
｛1 1 1｝=（1 1 1）＋（1 1 1）＋（1 1 1）＋（1 1 1）
｛1 1 0｝=（1 1 0）＋（1 0 1）＋（0 1 1）＋（1 1 0）
＋（1 0 1）＋（0 1 1）
｛1 1 2｝=（1 1 2）＋（1 2 1）＋（2 1 1）＋（1 1 2）
平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反。
0的意义：晶面与对应的轴平行。
立方晶体中，当一晶向[ h k l ]位于或平行于某一晶 面( u v w )时，必须满足关系式：hu＋kv＋lw = 0。 若一晶向[ h k l ]与某一晶面( u v w ) 垂直时，则其晶 向指数和晶面指数必须完全相同，即u = h，k = v， w = l。如 [1 0 0]⊥(1 0 0)， [1 1 0]⊥(1 1 0)
X
o
3/4 b 1/4
c a Y
图1-34 确定晶面指数
⑹ 待求的晶面指数为（4 12 9 ）
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立方系常用晶面指数
图1-35 立方系常用晶面指数
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关于晶面指数
晶面指数意义：晶面指数代表着一组相互平行的晶
面，即所有相互平行的晶面具有相同的晶面指数。
图1-39 六方晶格晶面 晶向确定方法
用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有很大的缺点， 即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。如 图等价晶面（1 1 0）、(1 0 0)，等价晶向 [1 0 0] 和