《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学实验名称数值il•算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级：电力实08学生姓名：李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期：2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一.各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程*对于非线性方程，若已知根的一个近似值，将在处展开成一阶xxfx ()0, fx ()xkk泰勒公式"f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2!忽略高次项，有，fxfxfxxx 0 ()()()，，, kkk右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。
将非线性方程的**根代入，即fx ()0, X ，* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkkfx 0 fx 0 0,解出fX 0 *k XX,, k' fx 0 k水将右端取为，则是比更接近于的近似值，即xxxxk, Ik, Ikfx ()k 八XX, Ikk* fx()k这就是牛顿迭代公式。
,2,计算机程序框图:，见,,3,输入变量、输出变量说明:X输入变量:迭代初值，迭代精度，迭代最大次数，\0输出变量:当前迭代次数，当前迭代值xkl,4,具体算例及求解结果:2/16华北电力大学实验报吿开始读入l>k/fx()0?,0fx 0 Oxx，，01* fx ()0XX,,，?10kk, ,1，kN, ?xx, 10输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志,3,输入变量、输出变量说明: 结束例：导出计算的牛顿迭代公式，并il •算。
（课本P39例2-16） 115cc （0）, 求解结果:10. 75000010.72383710. 72380510. 7238052、列主元素消去法求解线性方程组，1,算法原理:高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘 -个 方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上 对上三角3/16华北电力大学实验报告方程组求解。
列选主元是当高斯消元到第步时，从列的以下（包括）的各元素中选出绝aakkkkkk 对值最大的，然后通过行交换将其交换到的位置上。
交换系数矩阵中的 两行（包括常ekk数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结 ,2,计算机程序框图:，见下页,输入变量:系数矩阵元素，常向量元素baiji 输出变量:解向量元素bbb,,12n,4,具体算例及求解结果:例:用列选主元法求解下列线性方程组（课本P65例3-3）0. 501. 103. 106. OOxxx, , ,, 123, 2. 004. 500. 360. 020xxx, , ,, 123，5. 000. 966. 500. 96xxx,, , 123,求解结果:X,，2. 600000, 1, X, 1. 000000, 2,X, 2. 0000003,3、分解法求解线性方程组LU,1,算法原理:求解线性方程组时，当对进行分解，则等价于求解，这时可归AAxbLULUxb,结为利用递推计算相继求解两个三角形（系数矩阵为三角矩阵）方程组，用顺代，山Lyb,求出，再利用回带，由求出。
xyUxy,,2,计算机程序框图:，见下贝,,3,输入变量、输出变量说明:输入变量:系数矩阵元素，常向量元素baiji4/16华北电力大学实验报告开始读入数据，abiji从主程序来ijn, 1,2,…，,ad, kkk, Ikl,选主元ki,, laaa/, ikkkik,ikkn, , , 1, 2,…，ad, ?ikaaaa,, i jikkjikad, i jkkn, 1, 2, …，，，ikbabb,, il, iikkii jkkn, 1，2，・• • 0,, , kk, , 1,ii, ,lin, ?kn, ,1?,,输出,d,0?奇异标志bab/, nnnn,n, 0/babab,, Ik, ?, ii j jiii 结束ji, , 1, inn,,, 1, 2…，1 ataata,…，1 jkjl jkjbtbbtb,,,,, Iklkbbb,，12n返回主程序结束5/16华北电力大学实验报告开始读入数据，abijiuain,,, 1, 2八…lliiaillin,,, 2, 3,…，ilullrl,ualuirrn,,, , ,, 1,・・•,, ririrrkik, 1rl,aillin,,, 2, 3,…，ilulllaluuirrn,，八，()/, 1, 2,…，，iririkkrrrk, 1i, 1ybyblyin,,,,,, 2, 3,…，，lliiikkk, 1xyuxyuxuin,、、、、！、()/, 1,,…，2, 1, nnnniiikkiiki, , 1输出XXX,， (12)结束输出变量:解向量元素bbb •…，1,2, ,n,4,具体算例及求解结果:例:用杜里特尔分解法求解方程组(课本P74例3-8)，八 4771X, 2,八， X, 2. 000000, 1, X,, 2. 000000, 2 ，X, 1. 0000003, 6 / 16华北电力大学实验报告4、拉格朗日插值法 ,1,算法原理: nxx,i 构造基函数，可以证明基函数满足下列条件：Olx,,kxx,,0iki,ikOik,八 1x(),, kilik,,对于给定(l)n,个节点，次拉格朗日插值多项式由下式给出：nnnxx, i () Lxy,,, kxx,, 0, Okiki , ikX22332457X3,,求解结果:jkkn,八0…，1, 1ytyy, ,kkk, , Ikn, ?输出y结束5、最小二乘法的曲线拟合,1,算法原理:对于给定的一组数据，要在给定的函数空间（，（）），l,2,・・・，xfxini,ii八Span｛八•••，｝,,, Oln中找一个函数,,,0011nnii,0i*使满足，()x n***** >,,>,()()()---() Oxaxaxaxax,,8/16华北电力大学实验报告nim2*2*2,，，，，，，[() ()]min[() ()]xfxxfx,, iiii2，八()x,, llii**这种求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法，称为最小二乘法的，Ox, Ox最小二乘解。
,2,计算机程序框图:开始读入数据Cn, 11Cxil叫八，2, 3,…，1,1111,11,Cxikm,八，2, 3,…，1, llkk, li,Cxxilkm,八…2, 3八…，1 (1) (l)klkl,,, li,by, 11,11,bxykm,八，2, 3…，1 (l)kkii,, li,进行分解，框图如分解法，得系数LULUakm, 0, 1, -. ■,, k输出aaa,八…，Oln结束,3,输入变量、输出变量说明：输入变量：已知数据点（Jxyii输出变量:拟合多项式的系数ai9/16华北电力大学实验报告,4,具体算例及求解结果:例:根据给定的函数的实例数据表，试用最小二乘法求二次拟合多项式。
（课本yfx, 0P186习题3)X 3506 1241y 151516 141414141求解结果:6 14. 92857206,0. 8928571 a, 0. 17857122yxx,, , , 1. 3181713. 4318110. 3863636、变步长梯形求积分,1,算法原理:设将积分区间分成等份，即有个子区间，分点，其中nnxakhkn, , ,, 0, 1,…，匚]abk步长ba, h, n对于子区间，利用体型求其积分近似值［Jxxkk, 1h [()0], fxfxkk, 12对于子区间有［Jabn, Ih , , [() ()]Tfxfx, nkk, 12k, 0对于子区间再取其中点［Jxxkk, 11 XXX，， 0llkk, k, 22作新节点，此时区间数增加了一倍为，2n对子区间，其积分近似值［Jxxkk, 1h [()2()()], , fxfxfxkkll, k, 4210/ 16华北电力大学实验报告对区间有［,］abn, Ih, , , [()2() OlTfxfxfx, 211nkk, k, 4k, 02 nn,, llhh 八[()()]0fxfxfx,, kk, Ilk, 42kk,, 002,2,i|•算机程序框图:开始hbahfafbT,,, ,,[()()] 12SfxSxhx,八，0,xb，?ThSl, ,T222,hTT,,,?,,hTT, 21212打印T2结束,3,输入变量、输出变量说明：输入变量:积分区间，精度,[Jab输出变量:T积分结果211/ 16华北电力大学实验报告，4,具体算例及求解结果:Isinx例:用变步长梯形公式求积法计•算。
（课本P209例6-13）dx, Ox求解结果:0.94608271、改进欧拉法,1,算法原理:当取值较小时，让梯形法的迭代公式只迭代一次就结束。
这样先用欧拉公式求（0）—个初步近似值，称之为预报值，预报值的精度不高，用它替代梯形法右端的，yym 1, nl再直接讣算得出，并称之为校正值，这时得到预报-校正公式。
将预报-校正公 式 yn, 1 (0),yyhfxy, , (, )nnnn, 1, ,h(0), , yyfxyfxyC)(,)八， lib , ,2 称为改进欧拉公式。
,2,计算机程序框图:，见下贝,,3,输入变量、输出变量说明:输入变量:处置点，区间长度，计算次数 OxyNhOO输出变量:初值问题的数值解法结果（Jxyll,4,具体算例及求解结果:例:求解初值问题（课本P242例7-2）2x,，yyx,,,,, 01, y,求解结果:xyyx 0 xyyx () nnnnnn12 / 16 华 北电力 大学实 验报告0. 5 1.416402 1.416402 1.0 1.737867 1.737867开始读入xyhN,，，00,nnnnnn.0. 1 1.095909 1.095909 0.6 1.485956 1. 485955 0.2 1. 184097 1. 184097 0.7 1.562514 1.552514 0. 3 1. 266201 1. 266201 0.8 1.616475 1.616474 0.4 1.343360 1.3433600.9 1.678320 1.678166l>nxhx, , 01yhfxyy, , (,) OOOpyhfxyy, , OOlpcyyy, , () /21pc输出xy, 11nn.XX, nN, ?10,yy, 10结束8、四阶龙格,库塔法求解常微分方程的初值问题,1,算法原理:XX,用区间内四个不同点上的函数值的线性组合就得到四阶龙格-库塔四阶龙格-库塔法111223344, kfxy, (，)Inn,, kfxhykh,,, yyhkkkk, , , , , ()，，，，，nm，kfxhykhkh, ,,,(，)32211222nn,,，,,kfxhykhkhkh, , , , , (, )43311322333nn,,,,,其中，均为待定系xyyx 0 nnn 类似于前面的讨论，把kkk,,分别在X 点展开成的探级数，代入y 并进行花 间，h234nn, 14yx()然后与在X 点上的泰勒展开式比较，使其两式比较，使其两式右端直到的系数hn, In13 / 16华北电力大学实验报告相等，经过复朵的数学演算可得到关于的一组特解，，iiij,,,,1211222,,,,0,,,, 213132, ,, 1,,, 333从而得到下列常用的经典公式，h, yykkkk, , , , , (22) nn, 112346,,kfxy, (，)Inn, h, kfxyk, ,，21 Inn, 22,,h,, kfxyk (,)，312nm 2, 2,kfxyhk ，，(,)，413nn, 经典的龙格-库塔法每一步需要4次计算函数值，它具有四阶精度，即局部fxyC)5截断误差是。