四边形的折叠与剪拼试题赏析由于特殊的四边形具有许多的特殊性，所以命题专家常在中考命题时将特殊四边形设计为折叠或剪拼型试题，以考查同学们的动手操作、探究创新的能力．为方便同学们的学习，现以中考试题为例说明如下：一. 折叠问题例1 如图1所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）A . 70°B . 65°C . 50°D . 25°解析:∵AD ∵BC ,∵∠DEF =∠EFB ＝65°,由折叠性质可知, ∠D ′EF =∠DEF ＝65°, ∵∠AED ′=180°-2∠DEF = 50°,故本题应选C .评注:求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．例2 如图2,矩形纸片ABCD 中，AB =4,AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为( )A .1B .C .D .2解析:本题以矩形为依托,利用折叠提出问题,这种在中考中屡有出现.在解答本题时,首先要了解矩形的性质,同时要注意在折叠过程中只是部分图形的位置发生了变化,而形状和大小关系没有改变.解答时可以先利用勾股定理算出DB =5.由折叠可知设利用勾股定理列方程得:,解之得:. 评注:有关折叠问题的计算通常要想到直角三角形，利用勾股定理构造出方程求解． 二.裁剪问题例3 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是43323,2,A D AD A B ''===4AG A G x BG x '===-，，()22224x x +=-32x =A ．B ．C ．D ．CBDAG图2EDBC′ FCD ′A 图1解析:由于折叠的图形是正方形，所以经过两次折叠后得到的是一个等腰直角三角形，且直角的顶点是原来正方形对角线的交点，腰是正方形对角线的一半，又等腰三角形中剪去的图形是三个圆孔，那么所剪的三个圆孔的圆心所在的直线平行于等腰直角三角形的斜边(即正方形边)，而且展开后应为12个圆孔,所以观察图形只有D 图形符合要求，故应选D ．评注:“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”.我们知道，通过动手实践获取知识,并且了解知识发生的过程，其效果胜于直接吸收书本知识,本题以学生信手拈来的纸片为道具,通过纸条的折叠考查对称思想,真正体现了动手实践的教学理念.例4 如图3，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．解析:本题是在动手操作的基础上考查菱形的性质，具有一定的灵活性.在解答过程中,要理解菱形的对角线把菱形分割成了四个全等的直角三角形，其面积实际上就是剪下的直角三角形的面积的四倍.所以面积为:.也可根据题意得AC =8,BD =10.面积为.评注:通过对本题的操作，不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．210cm 220cm 240cm 280cm 1544402⨯⨯⨯=1810402⨯⨯=ABCD图3动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。
一、从三角形纸片中折出菱形例1、将一张三角形的纸片ABC 按照如下的折叠步骤进行折叠：（1）将三角形的纸片ABC 沿过B 点的某条直线折叠，使BC 与BA 重合，得到折痕与AC 的交点D 。
（2）再将三角形的纸片ABC 沿某条直线折叠，使点B 与点D 重合，得到折痕与BA 、BC 的交点E 、F 。
则四边形EBFD 是菱形。
分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理。
本题说明四边形EBFD 是菱形的方法很多，下面一一予以说明。
解：由第一步折叠可知：∠ABD =∠CBD ，由第二步折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BE =DE ，DF =BF ，OD =OB ，∴∠ABD =∠EDB ． ∴∠EDB =∠CBD ．又∴∴EOD =∴FOB ，∴∴EOD ∴∴FOB ，∴DE =BF ． ∴ BE =DE =DF =BF ．∴四边形EBFD 是菱形（四边相等的矩形是菱形）． 二、从矩形纸片中折出菱形例2、把一张矩形的纸ABCD 按照如下的折叠步骤进行折叠：将矩形的纸片ABCD 沿某条直线折叠，使点B 与点D 重合，得到折痕与AD 、BC 的交点E 、F 。
则四边形EBFD 是菱形。
分析：虽然纸片不同，但方法同例1一样，说明四边形EBFD 是菱形的方法还有很多，下面只选一种予以说明。
解：由折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BE =DE ，DF =BF ，OD =OB ， ∴∠EBD =∠EDB ．∴四边形ABCD 是矩形，∴AD ∴BC ，∴∴EDB =∴FBD ，O图1O又∴∴EOD=∴FOB，∴∴EOD∴∴FOB，∴DE=BF．∴BE=DE=DF=BF．∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．多边形折叠的新变化因折叠型试题对考生的能力（动手能力、想象能力、综合运用知识的能力等）要求较高，故近几年全国各地的中考题中，形式新颖、结构独特、解法灵活的折叠题倍受命题者青睐。
翻阅2008年的中考试卷，不难发现此类试题的新变化。
一、由一次、二次折叠向多次折叠变化［例1］如图（1）（2）所示，将一张长方形的纸片对折两次后，沿图（3）中的虚线AB剪下，将△AOB 完全展开。
（1）画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；（2）若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出△AOB应满足的条件。
思路分析（1）紧扣折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称，是解折叠题的主要依据，其思维过程和操作程序如下（自右到左）：（2）最快、最可靠的方法是利用草稿纸动手折一折，中间的菱形立即跃然纸上。
解：（1）展开图如图（4）所示，它是菱形证明：由操作过程可知OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形又∵OA⊥OB，即AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形（2）△AOB中，∠ABO=45°（或∠BAO=45°或OA=OB）经验提升（1）在考试中，不必“沿图（3）中的虚线AB剪下”（没有剪刀，难以操作），只须沿AB 再折一次，完全展开后可发现长方形纸片中间是一个菱形，因此，此题可看作是3次折叠。
［例2］将一张纸片沿任一方面翻折，得到折痕AB（如图1），再翻折一次，得到折痕OC（如图2），翻折使OA与OC重合，得到折痕OD（如图3），最后翻折使OB与OC重合，得到折痕OE（如图4），展开恢复成图1，则∠DOE的大小是___________度。
思路分析此题共有4次折叠，前两次折叠没有特别的限制条件，第3次折叠“使OA与OC重合”，可知折痕OD是图（2）中∠AOC的角平分线，第4次折叠由“OB与OC重合”，可知折痕OE是图（3）中∠BOC 的角平分线，展开恢复成图1，∠AOB是一平角，故可知，两条角平分线的夹角为90°。
解填90°。
经验提升折叠次数多、图形较复杂，不易看出各个角之间关系，如果想不到上面的分析思路，那么折紧时间动手一试，便见分晓。
二、由四边形折叠向五边形、六边形折叠变化［例3］将五边形ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E'、D'，已知∠AFC=76°，则∠CFD'等于（）A.31°B.28°C.24°D.22°思路分析图中的四边形AEDF与四边形AE'D'F是全等形，故有∠AFD=∠AFD'因为∠AFC＋∠AFD=180°，若设∠CFD'=x°则∠AFD=∠AFD'=76°＋x°故可列方程求x。
解：设∠CFD'=x°，由题意得，解之，得x =28所以∠CFD '=28°，应选B 。
经验提升 一般情况下，一次折叠题无须动手折叠，但要抓住折叠的本质特征——折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称（或折叠前后的两个图形全等），此外，挖掘隐含条件——∠CFD 是平角，是解决此例的关键。
180)x 76(76=++折叠梯形 全等立功用全等的方法解决梯形中的这类折叠问题，可以达到事半功倍的效果。
下面举几例，供同学们参考。
例1、如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠ABC =720，现平移腰AB 至DE ，再将△DCE 沿DE 对折，得△，求的度数。
分析：利用等腰梯形的性质可得△CDE 为等腰三角形，∠C =∠DEC =720，根据△DCE ≌△可得，∠C =∠，∠CED =∠ED ，在△中，利用三角形的内角和定理就能求出的度数。
解：由题意可得△DCE ≌△ ∴∠C =∠，∠CED =∠ ∵四边形ABED 为平行四边形 ∴AB =DB 又∵AB =CD ∴CD =DE ∴∠C =∠DEC∵梯形ABCD 为等腰梯形， ∴∠ABC =∠C =720， ∴=720在△中，=答：的度数为360。
例2、如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，E 为BC 边上的点。
将直角梯形ABCD 沿对角线BD 折叠，使△ABD 与△EBD 重合。
若∠A =1200，AB =4cm ，求梯形ABCD 的高CD 的长。
分析：因为△ABD ≌△EBD ，所以∠A =∠BED =1200， 易得四边形ABED 为平行四边形，所以可得DE =AB =4。
在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求得CD 的长。
解：由题意得△ABD ≌△EBD ， ∴∠A =∠BED =1200， ∴∠DEC =600. ∵AD ∥BC ，∠A =1200， ∴∠ABC =600， ∴∠DEC =∠ABC =600 ∴AB ∥DE ,又∵AD ∥BC ∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴DE =AB = 4 在Rt △CDE 中, ∵∠DEC =600 ∴∠CDE =300 CE =DE =2 则CD . 答：梯形ABCD 的高CD 的长是.例3、如图3，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AD >CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在点处，'DC E 'EDC ∠'DC E 'C 'C 'C DE 'EDC ∠'DC E 'C 'C ED ''C DEC ∠=∠'C DE 'EDC ∠0000180727236--='EDC ∠122216423()DE CE cm -=-=23cm 'C折痕DE交BC于点E，连结E。