因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解： 因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

、提公因式法 . ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法 .在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因 式分解中常用的公式,(1) (a+b)(a-b) = a2(2) (a ±b)2= a2(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b ------- a2 23 3(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3---- 下面再补充两个常用的公式：2 2 2 2(5) a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2； (6) a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)例.已知a b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2ab bc ca ，则 ABC 的形状是（ ） A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形等腰直角三角形解： a 2 b 2 c 2 ab bc ca2222a 22b 2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b)22 (b c)2 (c2a) 0 a b c例如： 2-b 2 -22 2± 2ab+b 2 -------- a 2 3 32-b 2=(a+b)(a-b) ；2 2 22±2ab+b 2=(a ±b) 2； 3 3 2 2+b =(a+b)(a -ab+b ) ； 3- b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) ．三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式： am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ,后两项都含有 b ,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。

解：原式=(am an) (bm bn) = a(m n) b(m n) = (m n )(a b) 例2、分解因式：2ax 10ay 5by 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。

解:原式=(2ax 10ay) = 2a(x 5y)= (x 5y)(2a* 每组之间还有公因式! 练习：分解因式1、a 2 (5by bx) b(x 5y) b) = bx 解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。

bx) b) b)(x ab ac be 原式= (2ax = x(2a (2a 、xy (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x y ax ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组, 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式 = (x 2 y 2) (ax ay )= (x y)(x y) a(x = (x y)(x y a) 例4、 分解因式： a 2 2ab b 2 2 e 解：原式 = (a 2 2ab b 2) 2 e = (a b)2 2 e=(a b e) i(a b e) 练习： 分解因式 3、x 2 x 9y 23y 综合练习：(1) x 3 2 x y xy 2 3yy ) 4 (2) (3)x 2 (5) a 49y 2 16a 2 8a 1 a 29 6xy 2a 32 ax 2a 4a 2(10ay 5by) 5y(2a b) 5y) 虽然可以提公因 2yzbx 2 6ab bx ax9b 22 12b x 4a 2 y b 2x 4a b 2y四、十字相乘法.(一)二次项系数为 1的二次三项式 直接利用公式一一 x 2(P q)x pq 特点：(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数的乘积； (3)一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律2例.已知0v a w 5，且a 为整数，若2x 3x a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 b 24ac >0而且是一个完全平方数。

9 8a 为完全平方数，a 1(-1 ) + (-6 ) = -7练习 6、 分解因式(1)⑶ x 210x 242xz yz y(m 1)(m 1)(7)x 2 2xy (9) y(y 2) (11 )a 2(b c) b 2(a c) c 2(ab) 2 2(8) a22a b 2 2b 2ab 1 (10) (a c)(a c) b(b 2 a) 2abc( 12)a 3b 3c 33abc 练习5、分解因式(1)x 214x 2415a236 (3) x 4x 5(X p)(x q)进行分解。

分解因式：x25x 6将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 3的分解适合，即 2+3=5。

解：x 2 5x 6 = x 2(2 = (x 2)(x 例5、X 6=(-1) X (-6) 1 2 5。

，从中可以发现只有 23)x 23)用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积, 的代数和要等于一次项的系数。

X3 X2+1X 3=5 且这两个因数 例6、分解因式：x2 解：原式=x 2=(x 7x 6[(1)( 6)]x1)(x 6)1)( 6) -6ax 2+bx+c ,者E 要求于是X 22⑵ y 2y 15（二）二次项系数不为条件：（1） a i a 2 1的二次三项式2ax bx c a i （2） （3） 分解结果： b ax 2例7、分解因式: 分析： C 1C2a 1C2 bx a 2C 1c =(a 1x c 1 )(a 2x c 2) a C 2C i a i C 2 a ? G解：3x 2 练习7、分解因式:11x 103 -5 -2X (-6)+( -5)= -1111x 10 =(x (1)5x 2 3x 2 1 2)(3x 7x 6 5)2(2) 3x 7x 2(3) 10x 2 17x 32(4) 6y 11y 10（三）二次项系数为 1的齐次多项式例8分解因式：a 2 8ab 128b 2 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 乘法进行分解。

1 1 a 的二次三项式，利用十字相解: 8b -16b8b+（-16b ）=-8b a 2 8ab 128b 2 = a 2[8b( 16b)]a 8b ( 16b) (a 8b)(a16b)练习8分解因式（1） 2x 2 m3xy 2y 226mn 8n (3) 2 2a ab 6b（四）二次项系数不为 例 9、2x 7xy 1 -2y 2 -3y （-3y ）+（-4y ）= -7y -3 解:原式=（x 2y ）（2x 3y ） 练习9、分解因式：（1）15x 2的齐次多项式 6y 22 2例 10、x y 3xy 2 把xy 看作一个整体11-2-1)+(-2)= 解: 7xy 4y 2原式= (xy 1)(xy2)2 2(2) a x 6ax 8五、换元法。

（1） 、换单项式分解因式 x 6 + 14x 3 y + 49y 2.原式变形为22 14m y + 49y = (m + 7y) = ( x （2） 、换多项式例 2 分解因式 (x 2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2.分析 ：本题前面的两个多项式有相同的部分， 我们可以只把相同部分2 2 2换元，设 x +6= m ，则 X+4x+6= m+4x, x+6x+6= m+6x ，原式变形为2 2 2 2 2 2(m+4x)(m+6x)+x 2= m 2 +10mx+24x 2+x 2= m 2 +10mx+25x 22 2 2= (m+5x) 2= ( x 2 +6+5x)22 2 2= [(x+2)(x+3)] 2= (x+2) 2 (x+3) 2.以上这种换元法， 只换了多项式的一部分， 所以称为 “局部换元法” . 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体22换元法”.比如，设x +4x+6=m,贝U x +6x+6=m+2x,原式变形为（3） (x y )2 3(x y) 10( 4) (a b)34a 4b 3（5） 22 xy 5x4 y 6x 5（6） m24mn24n 23m6n 2（7）2 x 4xy 4y 22x 4y 3（8）25(a b) 2 223(a 2 b 2) 1 0(a b)2（9） 4x 24xy 6x 3y 2 y 10( 10)2 12(x y)2 11(x 2y 2)2(xy)2思考： 分解 因式： 2 abcx 2 (a 2b2 c 2)x abc综合练习 10、（1） 8x 6 7x31222)12x2 11xy 15y 2分析 ：注意到 x 6=（ x 3） 2，若把单项式 x 3换元，设 2= m ，例12 m+ 323+ 7y)x (x+1)- m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m 2-m)2 2 2 2 2 2 2 2m(m+2x)+ x = m +2mx+x= (m+x) = ( x +4x+6+x) = ( x +5x+6)2 2 2=[(x+2)(x+3)] = (x+2) (x+3).另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算 .对于本例，设m=寸2 2 2 2 2[(X +4x+6) +(X +6x+6)]= x +5x+6,则 x+4x+6=m-x, x+6x+6=m+x,2 2 2 2 2 2 2(m+x)(m-x)+x = m -x +x = m = (x +5x+6) = [(x+2)(x+3)]=(x+2) 2(x+3) 2.例 3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积， 可以把它们分成两组相乘,于是，原式变形为使之转化成为两个多项式的乘积 无论如何分组，最高项都是 X 2,常数项不相等，所以只能设法使一次项相同 .因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1) (x+2)][(x-3)(x+4)] 2 2=(x +x-2) (x +x-12)，从而转化成例2形式加以解决.我们采用“均值换元法”，设 1 2 2 2m= 2 [ (x +x-2)+ (x +x-12)]=x+x-一 2 2 ______________________________________________则 x +x-2=m+5，x +x-2= m-5，原式变形为2 2 2 2(m+5)(m-5)+24=m -25+24=m -1=(m+1)(m-1)=( x +x-7+1)( x+x-7-1)=(x 2+x-6)( x 2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).⑶、换常数2例 1 分解因式 x (x+1)-2003 X 2004x. 分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两 个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如,设 m=2003,则 2004=m+1.2x (x+1) - m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x2+x-m2-m)2)1 1x2 2=x[(x -m ) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)] =x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004). 例 13、分解因式(1) 2005x 2 (20052 1)x (2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 解：(1 )设 2005= a ，则原式=ax 2 (a 2 = (ax 1)(x 200526) x 1)x a a) (2005x 1)(x 2005)(2)型如abed e 的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。