假设检验的类型
——方差分析& 检验
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目录
一、方差分析1.原理2.步骤3.实例二、检验1.原理2.实例
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1.原理（1）应用背景
在许多实际问题的统计分析中，我们不仅要讨论两个总体均值相等的假设检验问题，而且还要讨论两个以上总体的均值是否相等的假设检验问题，在这种情况下，我们就选择方差分析的方法来检验这些样本的平均数差异的
显著程度。
（2）应用条件（运用方差分析方法需要满足的假定）
①观察对象来自所研究因素的各个水平之下的独立随机抽样；②每个水平下的样本都取自正态分布的总体；③各个总体有相同的方差。
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独立性正态性方差齐性
1.原理
（3）基本原理
假定容量为n的k个样本取自同一总体。
用k个样本的方差估计总体的方差；用全体k个样本的所有元素作为一个样本（样本和），并依此估算总体的方差，如果“原假设”成立，这两个估计值应该十分接近，如果这两个估计值相差很大，这k个样本就不可能都取自同一个总体。
因为方差分析用两个方差的估计值的比F作单侧检验，所以这种方法又称F 检验。
检验用F分布进行。
2.步骤
（1）建立方差分析的数学模型；
（2）确定各个总体是否服从正态分布，且具有相等的方差；（3）建立检验用的原假设和备择假设，给出显著水平；（4）计算总体方差的估计值和统计量F ；
（5）根据F 做出判断。
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3.实例
1）研究目的
为了研究学生学习数学的成绩是否受教师教学水平的影响，现将一个数学提高班的学生分成三个小班，分别由甲、乙、丙三位教师任教。
三个班各随机抽取五个学生的最终成绩见表。
假定三个学生的最终成绩服从正态分布，试问三个班学生的最终成绩是否存在显著的差异？如果有差异，应推举哪位教师担任此班教学使教学效果最好（α=0.05）？
2）数据说明
表教师及部分学生的成绩
教师成绩
甲6555657555
乙8570809065
丙85757590100
3）解题思路
这里研究学生数学的最终成绩是否具有显著的差异。
这里很容易想到在进行多个总体比较时经常采用的方法——方差分析。
在分析最终成绩时只考虑一个因素：教师，因此属于单因素方差分析。
除此之外，研究目的中的后一问题则属于单因素分析的多重比较问题。
具体检验过程如下：
（1）做假设原假设H 0 ：µ1=µ2=µ3
备择假设H 1：µ1、µ2、µ3
不全相等
注意：
是“不全相等”，而非
“全不相等”
（2）计算样本平均值
计算所有受测学生数学最终成绩的平均值：
（3）计算方差
如果三位教师教学效果相同，即三个样本取自同一总体。
设此总体的方差为①计算样本间方差：本例样本数k 为3，有：2
δ
89
7863===丙乙甲，，x x x 7
.76)(3
1
=++=丙乙甲x x x x 1
)(22
--∑=
k x x s x
335.1701
)
(2
2=--∑=
k x x s x
②计算总体方差的估计值：
由公式
得到，其中是样本均值之间的方差，在此以替代。
总体方差的第一个估计值是：
③计算样本内方差：
目的是以样本内方差为基础，确定总体方差第二个估计。
计算公式是：
本例结果：④总体方差的第二个估计值是：n
x δ
δ=2
2x n δδ=2x δ2x S 675
.851335.170522
1=⨯==∧x
nS δ1
)(2
2
--∑=
n x x s
5.925.10770222===丙
乙
甲
，，s s s 90
3
s
s
s
2222
2
=++=
∧丙
乙
甲
δ
一、方差分析
（4）计算F 值：在本例中：根据假设（三个样本取自同一总体），F 值的分母是总体方差的一个较好的估计值；对F 值的分子做这样的分析：如果三位老师的授课效果是一样的，那么三者平均得到的样本间方差也应是总体方差的一个好的估计值。
所以当F 越接近1，就越倾向于接受原假设，反之，F 越远离1，就越倾向于拒绝原假设。
实际检验时并不简单用1做标准。
样本内方差
样本间方差=F 46.990675.851F 222
1===∧∧δδ随机变异处理因素导致的变异
随机变异
一、方差分析
（5）检验假设
(2，4)=6.94
对于给定的α=0.05，查F分布表得：F
0.05
其中K-1=2是分子的自由度，n-1=4是分母的自由度。
因F=9.46>6.94，落在拒绝区域内，即拒绝原假设，认为三个班学生的最终成绩的确存在显著差异。
此外，由计算三位老师教授数学的平均成绩知，甲老师的平均成绩最低，所以推荐乙或丙担任此班教学效果更好。
二、
检验应用背景：检验是在不要求每个总体服从正态分布的情况下，判断多个样本之间是否存在显著差异的一种检验方法。
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χ2χ
1.基本原理
在两个样本取自同一总体的假设下，具备某一特性的元素在样本中所含比例和在总体中所占比例就应该相同。
用特殊元素在样本集合的“和”中所占比值估算其在总体中所占比例，再作为期望比例计算各样本中的期望值。
最后计算反映样本比和期望比关系的及与对应的单尾概率函数（或查分布表），并检验是否接受原假设。
2χ
2χ2χ
2.实例
某集团股份有限公司管理层为调动员工的积极性，提出了一份员工持股计划，因涉及各方利益，为稳妥起见，决定从工人、一般管理人员和中高层管理人员这三大利益主体中按比例随机抽取300人进行调查，了解对计划的支持情况，得到的调查，见表2-1。
表2-1员工持股计划调查表
利益主体工人一般管理人员中高层管理人员合计
支持120327159
反对110283141
合计2306010300问：这三大利益主体对该计划的态度是否一致？（α=0.10）
（1）计算期望值
计算各样本中支持人数所占比例，假定三个样本来自同一总体，计算支持者人数所占比例的期望值，并依此期望比例计算各个样本的期望人数（见表2-2）
表2-2 计算的中间结果
利益主体工人一般管理人员中高层管理人员合计
120327159支持人数（频数）f
样本容量2306010300
支持者所占比例0.52170.53330.70.53
期望比例0.530.530.530.53
122325159期望人数（已取整）f
e
二、
检验（2）计算检验统计量本例（3）原假设H 0 ：p 1=p 2=p 3
备择假设H 1：p 1、p 2、p 3不全相等
其中p i (i=1,2,3)是三个样本中支持该计划人数的比。
显著性水平α=0.10
2χ83279
.02=χe
e f f f 202)(-∑=χ实际支持人数期望支持人数
二、
检验（4）一个样本有两组观察值（支持者和反对者），一共三个样本，自由度为：
（2-1）×（3-1）=2查分布表得
（5）结论：由于，落在接受域内，即接受原假设，认为这三大利益主体对该计划的支持态度是一致的。
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χ2χ605
.4)2(210.0=χ605.4)2(83279.02
10
.02=<=χχ
谢谢大家！。