技 原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁
学 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？
院
解：板上任一点（x,y）处的温度为
数
Tx, y
k
学
x2 y2
建 模
我呵学呵过高等数学，我可以g 做得ra 更 好dx，T 2ky2 x32ix2ky2 y32j
2021/2/5
gra3d， 2T3k3 i2k3 j
建
f0 S 10 S 20 0
只证明了直线的存在性
模 f0 S 1 0 S 2 0 0你能找到它么？
由零点定理得证。
2021/2/5
理学院 11
2.1.3出租车收费问题
黑
龙 江 科
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2021/2/5
4
第二章 初等模型
黑
龙
江
生活中的问题
科
技
极限、最值、积分问题的初等模型
学
院
经济问题中的初等模型
数
线性代数模型
数学建模
（Mathematical Modeling)
黑龙江科技学院理学院 工程数学教研室
2021/2/5
1
黑 龙 江 科 技 学 院
数 学 建 模
2021/2/5
第二章 初等模型
理学院 2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
建
距离是的函数 C
正方形 对称性
两个距离
C´
A
O
x
D´ D
模
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
正方形ABCD
B,D 2021/2/5 两脚与地面距离之和 ~ g()
绕O点旋转
理学院 7
模型构成
黑 龙
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
江
科
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
技
学 院
元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
数 学
10
y110x41.6
0x4 4x15
建 模
10x52.41541.6
y2 0.82t.5
15x
2021/2/5
13
理学院
数学模型为
黑
龙
江
10
0x4
科 技 学 院
yy1y2 1 0 x41.6 1 0 x52.41 5 41.6
科 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下
技 学
的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给
院 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
你知已道知他平用面的上是一什条没么有办交法叉吗点？的
数
封闭曲线，P是曲线所围图形上
学
任一点，求证：一定存在一条过
建 模
P的直线，将这图形的面积二等 分。
1 4 x 5 x 15 0.8 2t.5
数
学
建
模
计算起来很简单。
2021/2/5
理学院 14
2.1.4 蚂蚁逃跑问题
黑 龙
一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1），
江 （5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火
科 焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到
椅子在任意位置
至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数 学
数学
建
问题
模
2021/2/5
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 8
模型求解
黑 给出一种简单、粗糙的证明方法
数 学
因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
建 评注和思考
模
建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
2021/2/5
理学院 9
2.1.2 分蛋糕问题
黑 妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的
龙 江
蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点
龙 江 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 科 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 技
学 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
院 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
技 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记
学 一次价。
院
例如，当行驶路程x（km）满足
数
12≤x<12.5时，按12.5km计价；当
学
12.5 ≤x<13时，按13km计价；
建
例如，等候时间t(min)满足
模
2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
2021/2/5
理学院 12
请回答下列问题
黑 龙
• 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。
江 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？
科 • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？
技
学 院
解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2
2021/2/5
理学院 10
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
黑 龙 江
S1 P P
l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 ) 以点P为旋转中心，将l按逆时
科
S2 ?
针方向旋转，面积S1，S2就连
技
续依赖于角的变化，记为
学 院
令： f S 1 S 2
S1, S2
数 而f 在 0,0上连续，且
学
学
建模举例
建
模 重点:各种简单的初等模型
难点:简单初等模型的建立和求解
2021/2/5
理学院5
2.1 生活中的问题
黑
龙 2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
江
科 技
问题分析
通常 ~ 三只脚着地
放稳 ~ 四只脚着地
学
院ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
数型
学假
建 模
设
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
2021/2/5
只脚同时着地。
理学院 6
模型构成
黑 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
龙
江 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
科 技 学
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B
´
B
A´
院 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
数 四个距离 学 (四只脚)