高一数学归纳法分析及解题步骤当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。
我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。
让我们一起到一起学习吧! 高一数学归纳法《2.3数学归纳法》教学设计青海湟川中学刘岩一、【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(人教A 版)》第二章第三节《2.3数学归纳法》。
在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。
因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。
通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。
本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。
二、【学情分析】我校的学生基础较好，思维活跃。
学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从骨牌游戏原理启发得到数学方法的过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。
三、【策略分析】本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从实际生活理论实际应用的过程;采用教师引导学生探索相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。
四、【教学目标】(1)知识与技能目标：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤;②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。
(2)过程与方法目标：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。
(3)情感态度与价值观目标：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。
五、【教学重难点】教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题;教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。
六、【教学方法与工具】教法指导：本节课采用的教学方法是启、思、演、练、结五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法;通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考;借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间;教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识，而结则包含两方面的内容(1)授课中教师的及时小结与点拨(2)听课时学生的自我小结与巩固。
学法指导：(1)学习要求：①课前预习教材中有关内容;②听课时积极思考大胆质疑;③课后及时完成课外作业。
(2)指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考;由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点;借助电脑声像效果，营造愉悦课堂氛围，提高学习兴趣。
教学手段：多媒体辅助课堂教学。
一、教材内容解析由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n 进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源.数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。
它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。
设p(n)表示与正整数n有关的命题，证明主要有两个步骤：(1)证明p(1)为真;(2)证明若p(k)为真，则p(k+1)为真;有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程：P(1)真- P(2)真- P(3)真- - P(k)真- P(k+1)真-因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真.数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即验证由任意一个整数n过渡到下一个整数n+1时命题是否成立.这两个步骤都非常重要，缺一不可.第一步确定了n=1时命题成立，n=1成为后面递推的出发点，没有它递推成了无源之水;第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从1开始，向后面一个数一个数的无限传递到1以后的每一个正整数，从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上.在应用数学归纳法时，第一步中的起点1可以恰当偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可证明命题对n=n0以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动，如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递推时的基础.数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法这个名字是随便起的.[1]归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构;而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是把无穷的三段论纳入唯一的公式中(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出自然数公理后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的最小数原理，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充[1]，即观察+归纳+证明=发现.二、教学目标1. 通过对具体问题的解决思路探寻，了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，在此基础上归纳概括出数学归纳法证题的两个步骤.2. 体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的恒等式.3. 了解通过观察归纳证明来发现定理的基本思路.三、教学问题诊断认知基础：(1) 对正整数的特点的感性认识;(2) 对无穷的概念有一定的认识和兴趣;(3) 在数列的学习中对递推思想有一定的体会;(4) 在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实;(5) 在算法循环结构的学习中有反复试用循环体的体会,虽然算法实现的只能是有限步的循环;(如下图)(6) 了解归纳法、演绎法等推理方法以及分析法、综合法等证明方法，具有了一定的逻辑知识的基础.难点或疑点：但数学归纳法作为一种证明的方法，且不论其方法的结构形式，运用技巧，就是对其自身的可靠性，学生都有一定的疑虑，具体可能会体现在以下一些方面：1.数学归纳法所要解决的是无穷多个命题P(1),P(2),P(3),,P(n),恒为真的问题，由此造学生在理解上的两点困难：(1)对无穷的模糊认知和神秘感;(2)对于一个关于正整数n的命题P(n)，会难以将其看作是一个随自变量n变化的命题值函数.2.为什么要引进数学归纳法?验证为何不可行?3.数学归纳法的两步骤中，对第二步的认识往往难以到位.将解决由P(k)到P(k+1)的传递性问题，误解为证明P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用假设的不理解.4.数学归纳法的第二步中由k到k+1的递推性应保证k从第一个值时的任意一个整数都能成立,由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去.5.数学归纳法中的递推是一种无穷尽的动态过程，学生对于不断反复地运用步骤二来进行推理的模式缺乏清晰的认知.数学归纳法运用时对起点可作适当的偏移，对第二步的证明有一定的技巧，这些都可以留置下一课进行深入分析，本课侧重解决对数学归纳法基本原理和两步骤的初步理解.突破的关键：由于中学阶段对数学归纳法的教学缺乏理论基础，因此学习的关键是通过对具体问题的解决，提炼出方法的一般模式。
在经历问题的提出、思考的过程，通过具体的事例、直观的模型中加以抽象概括，从而逐步加深对数学归纳法原理的理解。
(1) 借助递推数列递推数列通过相邻两项的关系以及首项来确定数列，与数学归纳法的思想有着天然的联系.(2) 构建直观模型上图既有多米诺骨牌的形象又有数学的形式，加上命题式的推出符号更易理解若k则k+1的递推语句，整体上又具有流程图的程序结构，能较好地反映出数学归纳法的本质，可以使学生的思考有较形象直观的载体.(2)重视归纳概括根据递推思想，数学归纳法的证题过程可分解为以下无穷多个步骤：第一步，P(1)真;第二步，P(1)真-P(2)真;第三步，P(2)真-P(3)真;第四步，P(3)真-P(4)真;用最少的步骤可概括为第一步，P(1)真;第二步以后各步都可归纳为一个命题的证明：P(k)真P(k+1)真;即若P(k)真，则P(k+1)真.同以上两步，就可证得对任意的正整数n,都有P(n)为真.对于这种抽象概括，学生在数列的学习以及算法的学习中是有经验的和能力的.四、教学支持条件对于无穷与递推的描述，仅靠语言及符号是苍白的，借助于一些直观形象的符号可以更有助于学生的想象与理解.五、教学过程设计(一)课前准备课前播放多米诺骨牌游戏的录像，并将其类比迁移到对提问规则的制定:某个同学回答后，将话话筒传递给下一位同学回答问题.设计意图：一方面营造轻松的氛围，另一方面渗透递推思想，让学生有感悟思想的机会.(二) 方法的形成问题：已知数列{an｝：，求,.师生活动：学生进行计算推理后，展示思考结果.教师追问：(1)根据递推公式，可以由出发，推出，再由推出,由推出,说说你又是如何求得呢?预设：由前四项归纳猜想.(2)归纳猜想的结果并不可靠，你能否对给以严格的证明吗?设计意图：学生通过对的求解，体会到只需知道某一项，就可求出其下一项的值.通过直观的框图式结构，可以使学生的思考有较形象直观的载体.针对学生的回答情况，教师可进行追问：问1 : 利用递推公式，命题中的n由1可以推出2，由2可以推出3，由3可以推出4，。
，由99可以推出100. 这样要严格证明n=100结论成立，需要进行多少个步骤的论证呢?第一步，;第二步：; (由推)第三步，; (由推)第四步，; (由推)第99步，; (由推)第100步，. (由推)问2：你能否只用最少的步骤就能证明这个结论呢?预设：除了第一步论证之外，其余99个步骤的证明都可以概括成一个命题的证明，即转化为对以下命题的证明：若n取某一个值时结论成立，则n取其下一个值时结论也成立，即若()，则. (*)(.)问3：你能进一步说明命题(*)的证明对原命题的证明起到什么作用吗?问4：有了命题(*)的证明，你能肯定吗?你能肯定吗?你能肯定吗?甚至你能肯定吗?问5：给定及命题(*)，你能推出什么结论呢?预设：通过步步递推，可以证明对任意的正整数n，结论都成立.问6：试写出此命题的证明:已知数列{an｝：，求证：.预设：证明:(1) 当n=1时，,所以结论成立.(2) 假设当n=k(kN*)时，结论成立，即，则当n=k+1时即当n=k+1时，结论也成立.由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有成立.问7：你能否总结出这一证明方法的一般模式?预设：一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1) 证明当n=1时命题成立;(2) 假设当n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.则P(1)真- P(2)真- P(3)真-P(4)真-P(5)真-那么，对任意的正整数n，命题P(n)都成立.设计意图：方法的提炼事实是对一种模式的提炼，通过对多米诺骨牌、课堂提问方式的渗透，以及对这一数学问题的解决过程的体验，部分学生可能有能力对这一模式的特征进行概括.问8：这种解决问题的思想方法在生活中有应用吗?你能举出一些例子说明吗?预设：多米诺骨牌游戏，课堂提问，传真话，长城烽火台的狼烟传递等等;设计意图：通过举例子，让学生进一步理解数学归纳法的原理，体会数学与现实生活之间的联系和类比.增进对数学学习的兴趣.问9：对方法中的两个步骤，你是如何理解的?预设：一是归纳基础，二是归纳递推.两者缺一不可。