机械振动习题解答（四）·连续系统的振动连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程22222y y c t x∂∂=∂∂ (1)此式为一维波动方程。

式中，对杆，y为轴向变形，c =y 为扭转角，c ；对弦，y为弯曲挠度，c =。

令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为12()cos sin Y x C kx C kx =+(3)将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应的振型函数Y n (x )。

可能的边界条件有/00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ∂∂=⎧⎫⎪⎪'=⇒=⎨⎬∂∂=⎪⎪⎩⎭对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩(4)类似地，梁的弯曲振动微分方程24240y yA EI t xρ∂∂+=∂∂(5)振型函数满足 (4)4420, AY k Y k EIρω-==(6) 式(6)的解为1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++(7)梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=∂∂，弯矩22/M EI y x =∂∂，剪力33//Q M x EI y x =∂∂=∂∂。

所以梁的可能的边界条件有000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8)2 受迫振动杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为222222222222(,)(,), (,)p p u uA EA f x t t x J GI f x t J I t x y yT f x t t xρθθρρ∂∂=+∂∂∂∂=+=∂∂∂∂=+∂∂杆：轴：弦：(9)下面以弦为例。

令1(,)()()n n n y x t Y x t ϕ∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。

代入式(9)得11(,)n n n n n n Y T Y f x t ρϕϕ∞∞==''-=∑∑(10)考虑到式(2)，式(10)可改写为211(,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρϕϕ∞∞==+=∑∑(11)对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得2220(,)llln n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρϕϕ+=⎰⎰⎰2200(), ()(,), l l n n n n n n n Q t Q t Y f x t dx b Y dx bϕωϕρ+===⎰⎰(12)当(,)()i t f x t F x e ω=简谐激励时，式(12)的稳态响应解为22220()111()()l i tn n n n n Q t t Y F x dx e b bωϕρωωωωρ==--⎰ 全响应解为22011()()sin sin l n n n n n t Y F x dx t t b ωϕωωρωωω⎛⎫=- ⎪-⎝⎭⎰ 当(,)()f x t F x =阶跃激励时，式(12)的解为()2()1()1cos n n n nQ t t t b ϕωρω=- 类似地，梁的弯曲振动微分方程2424(,)y yA EI f x t t xρ∂∂+=∂∂(13)令1(,)()()n n n y x t Y x t ϕ∞==∑，代入式(13)，经过一系列处理，得2200(), ()(,), l l n n nn n n n Q t Q t Y f x t dx b Y dx Abϕωϕρ+===⎰⎰ (14)---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 解题步骤1 自由振动分析①按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数； ②写出边界条件；③把振型函数代入边界条件，消去待定系数，得到频率方程。

2 受迫振动分析①写出激励f (x , t )的表达式；②通过以上自由振动分析的步骤得到振型函数Y n (x )； ③计算Q n (t )和b ，得到式(12)或(14)，求解主坐标φn (t )。

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.1 求阶梯杆纵向振动的频率方程。

解：振型函数：111122212()cos sin , 0()()cos sin , U x C kx D kx x l U x U x C kx D kx l x l =+≤≤⎧=⎨=+≤≤⎩，其中k =边界条件： 1(0)0U = 10C ⇒= ① 212()0dU l l dx+=2212tan ()D C k l l ⇒=+② 连续性条件：1121()()U l U l =112121sin cos sin D kl C kl D kl ⇒=+③112112()()dU l dU l EA EA dx dx= []11122121cos cos sin A D kl A D kl C kl ⇒=- ④ ②式代入③式得 []112112tan 1tan tan ()D kl C kl k l l =++②式代入④式得 []1212121tan ()tan /D C k l l kl A A =+-所以频率方程 []1121121211tan tan ()tan tan ()tan /kl k l l kl k l l kl A A ++=+-即1121122112tan ()tan tan tan 1tan tan ()A k l l kl kl kl A kl k l l +-==++ ---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.2 长度为L 、惯性矩为I s 的轴两端各带有惯性矩为I 0圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在I s <<I 0的情形下校验频率方程的正确性。

解：设扭转角(,)()i t x t Q x e ωθ=。

边界条件：22002200(,)(,)(,)(,), s s x x L x x Lx t x t x t x t J GI J GI t x t x θθθθ====⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以 2200(0)(0), ()()s s J Q GI Q J Q L GI Q L ωω''=-= ① 式中00J I ρ=，因为4420002111,3222mI d r J mr I rππρπ=====。

而振型函数Q (x )满足()cos sin Q x C kx D kx =+，其中k =②②式代入①式得 00, (tan )(tan )s s kI C I D kI C D kL I D C kL =-+=-二式联立得频率方程022202/tan /1ss kI I kL k I I =-③当I s <<I 0时，轴的惯性矩可忽略，相当于两端自由的两圆盘扭振系统（类似于课本p63例3-8，但边界条件不同），这是一个二自由度的扭振系统，用视察法可写出其微分方程为0110220t t t t J k k J k k θθθθ-⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎧⎫+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭，其中/t s k GI L =为圆轴的扭转刚度。

其特征方程为20200t t tt k J k k k J ωω--=--，可得10ω=，2022t J k ω=。

而此时③式左边tan kL kL ω≈=0222002/2/s s s kI I I k I I kI ≈==，所以202/s I GI L ρω≈，即202t J k ω=，且2020sI G L I ωρ≈⋅≈，与圆盘扭振系统的频率吻合。

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.3 长度为L 的轴一端固定，另一端自由，扭矩T 0sin ωt 施加于自由端，求轴的稳态响应。

设轴截面的抗扭刚度为GI p ，密度为ρ。

解：设稳态响应为(,)()sin x t Q x t θω=。

边界条件： 0(,)(0,)0, sin p x Lx t t GI T t x θθω=∂⎡⎤==⎢⎥∂⎣⎦ 所以 0(0)0, ()p Q GI Q L T '==① 而Q (x )满足 ()cos sin Q x C kx D kx =+，其中k =②②式代入①式得 00, cos p C GI Dk kL T ==所以振型函数 0()sin cos p T Q x kx GI k kL=稳态响应(,)sin sin cos p T x t kx t GI k kLθω=---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.4 初始状态静止，长度为l 、两端固定、张力为T 的弦中央受一阶跃力P 作用，计算弦在P 力作用下的振动位移响应。

解：（首先进行自由振动分析。

） 振型函数 ()cos sin Y x C kx D kx =+，其中k =① 边界条件 (0)0, ()0Y Y l == ② ①式代入②式得 0, sin 0C kl == 所以振型函数为()sin , /n n n n Y x C k x k n l π==③（再进行受迫振动分析。

）微分方程2222()2y y l T P x t x ρδ∂∂=+-∂∂ 设响应1(,)()()n n n y x t Y x t ϕ∞==∑，其中振型函数()sin , /n n n Y x k x k n l π==。

于是 0()(,)()(/2)sin sin(/2)sin(/2)lln n n n Q t f x t Y x dx P x l k xdx P k l P n δπ==-==⎰⎰22120()sin (1cos 2)/2l lln n n b Y x dx k xdx k x dx l ===-=⎰⎰⎰所以主坐标φn (t )满足2()2sin 2n n n n Q t P n b l πϕωϕρρ+== ④已知单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应，即方程0mx kx F +=的解为()()1F x t k =- 所以④式的解为 ()221()sin 1cos 2n n n P n t t l πϕωρω=- 系统响应()21121(,)()()1cos sin sin 2n n n n n n P n n y x t Y x t t x l l ππϕωρω∞∞====-∑∑ ---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------8.5 当集中载荷P 以速度v 在长度为l 的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。