L
ML1T 2 L 3 2 ML LT
L2T 2 L 2 LT
Company Logo
三 白金汉（Buckingham）定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有 n 个变量互为 函数关系， f (a1 , a2 , …an) = 0 而这些变量含有 m 个基本量纲，可把这 n 个变量转换成为 有 (n-m)=i 个无量纲量的函数关系式, F (1 , 2 , … n-m) = 0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程 中的变量数减少了 m 个，更为概括集中表示物理过程或 物理现象的内在关系。
L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0
所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为 F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
Company Logo
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式 可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么 p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re) p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
第四章 附
布金汉[Buckingham] 定理
LOGO
一
1. 量纲
量纲分析的基本概念
是物理量的单位种类，又称因次，如长度、高度、厚度等都 可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一
单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。
2. 基本量纲 导出量纲
用[ ]表示物理量的 量纲，用（ ）表 示物理量的单位
[4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 1=l/d
(4）
求解方程(1) M: 1=0 T: 1=0 L: -3 1+ 1+1+1=0 → 1= -1 求解方程（2） M:2=0 T: 2=0 L: 1-3 2+ 2+2=0 → 2= -1 所以 2= /d
基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有 三个基本量纲：长度量纲L 时间量纲T 质量量纲M
导出量纲由基本量纲组合表示，如
加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成[B]=MLT
Company Logo
3
基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量） 和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系导 出，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数， 所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取 基本量的原则。
Company Logo
求解方程（3） M: 1+3=0 → 3= -1
T: -1-3=0 → 3= -1
L: -1-3 3+ 3+3=0 → 3= -1 所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1 T: -2-4=0 → 4= -2
令= F2( /d, 1/Re)
p/= (l/d)(v2/2g) 这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示了等直圆管 中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成 正比，与管径成反比。
Company Logo
从该例题看出，利用定理，可以在仅知与物理过程
有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的 基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还 带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量 纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。 因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
Company Logo
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压
降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内 流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。 试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为
f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三 个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量 的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
Company Logo
1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0 [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0 （1） （2） （3）
vl LT 1 L [Re] 2 1 1 LT
Company Logo
ห้องสมุดไป่ตู้ 二
量纲和谐性原理
量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲 齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物 理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致 的、齐次的。 一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样， p v2 以能量方程为例 z C g 2 g 方程左边各项的量纲从左到右依次为：
Company Logo
LOGO
如、v 、l 可以构成一组基本量，包含了L 、M 、T 这三个基本量纲，而 a 、v 、l 就不能构成基本量，因为不 包含基本量纲M
Company Logo
4. 无量纲量 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个 数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的 综合物理量，如雷诺相似数