导数的综合应用
三、反例 “顺应”
不善于转化：如例2（3）不善于将方程
解的个数转化为函数交点的个数；
例3（2）、例4（2）不善于将几何语言、
Hale Waihona Puke 恒成立问题转化成函数的最值问题来研究;
在不等式的证明和恒成立的不等式证明中，
常常将
f (x) 恒g(x成) 立转化为
这是 f (x)min g(x)max
要证3 明 f2(x)的图象在 g(x) 图象的下方，这等价 于证明 f (x) g(x) 0，即可证明 F(x) f (x) g(x) 的 最大值小于0，从而转化成用导数求最值问题．可 见等价转化是本题思维的核心．
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4、利用导数处理不等式恒成立问题
例4：已知函数 f (x) ln x a
错误的，因为
f (x) 只g(x是)
恒成 f (x)min g(x)max
立的充分条件，并非充要条件
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四、归纳提升
方法与技巧 1．极值与最值的区别与联系．区别：极值是局部概念，只
对某个领域有效，最值是全局概念，对整个定义域都有 效．联系：最值一般是极值点、不可导点和端点函数值 (可取到的话)中的最大值或最小值．最值不一定是极值， 极值也不一定是最值． 2．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不 等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应 用． 3．要掌握将不等式的证明、方程根的个数的判定、求作函 数的图象等问题转化为函数的单调性、极值问题的处理．
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2、利用导数研究方程解的个数或函数图象交点的 个数
例2：已知x 3是函数 f (x) a ln(1 x) x2 10x 的一个极值 点.
（1）求 a 的值；
（2）求函数 f (x) 的单调区间； （3）当方程 f (x) b 有3个解时，求 b 的取值范
围.
导数的综合应用
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教学方法
用“问题---发现”教学思想（即从问 题入手，以已知条件为依托发现解题思路 和方法的过程）努力实现“知识结构”与 “认知结构”的相互促进。
教学过程
一、知识联系
利用导数 处理切线
的问题
利用导数 处理恒成
立问题
导数的 综合应用
利用导数 研究函数
的零点
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利用导数 证明不等
式问题
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二、正例“同化”
本节课共选四道例题，从四个方面探 讨了导数在函数与不等式中的应用。
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1、利用导数的几何意义研究曲线的切线 问题
例1：设函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a,b,c, d R)的图象关 于原点对称，且当 x 1 时f (x)有极小值；
恒成立问题转化为研究函数的单调性 或求最值问题，体会转化的思想。
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重点难点
教学重点：利用导数研究函数的单调性、极 值、最值；
教学难点：将求参数取值范围、确定函数零 点的个数、证明不等式问题转化成函数的 单调性、极值和最值问题。
导数的综合应用
学情分析
该内容的授课班级是我校的理科重点 班，学生已经对函数导数及不等式的基 础知识有了一定的了解，具备了对概念 和性质直接应用能力，但缺乏对知识交 汇点的掌控能力和综合应用能力。
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教育名言 教人者，成人之长，去人 之短也。唯尽知己之所短而后 能去人之短，唯不恃己之所长 而后能收人之长。——魏源
东方学校数学组
导数的综合应用
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东方学校数学组
导数的综合应用
教学目标 1、会利用导数工具研究曲线切线问题以
及函数基本性质； 2、会利用导数工具将不等式证明问题及
分析：
条件①（注意定义域）
②是一个极值点. 问题⑴⑵的解答加深对极值 点的意义的理解 a 16 ；
此题的难点是第⑶问，讨论图 象的交点或函数的零点，关键 根据题意，画出函数图象的走 势规律，标明函数极(最)值的 位置，通过数形结合的思想去 分析解决．
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3、利用导数证明不等式问题
例3：已知函数 f (x) x2 ln x (1)求函数在[1, e] 上的最大值和最小值； (2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数 f (x) 的
过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．
（2）假设存在两点 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，过此两点的切线互相垂直． 由 f (x) x2 1, 得 k1 x12 1, k2 x22 1 ∴ k1k2 (x12 1)(x22 1) 1 ∵ 1 x1 1, 1 x2 1, ∴ x12 1 0, x22 1 0 ∴ (x12 1)(x22 1) 0 ，这与(x12 1)(x22 1）= 1 矛盾． ∴不存在这样的两点使结论成立．
x
(1)若 a 0 试判断 f (x) 在定义域内的单调性； (2)若 f (x) x2 在(1，＋∞)上恒成立，求 a 的
取值范围．
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分析：条件① f (x) ln x a x ②隐含条件 x 0
问题（1）求导数f (x)→判断f (x) 0 或 f (x) 0 →确 定单调性． (2) f (x) x2 → a xln x x3 →求 x ln x x3 的最 大值．
(1)求 a,b,c, d 的值； (2)当x∈[－1,1]时，问:图象上是否存在两点使过
此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．
导数的综合应用
分析：列出所有条件，弄清要解决的问题进行知
识联想，发现有用知识点； 条件① f (x) ax3 bx2 cx d ②图象关于原点对称；
③在x＝1处有极小值④f(x)有极小值-32 。 问题⑴求a、b、c、d的值 a 1 ,c 1,b d 0 问题⑵当x∈[－1,1]时，问:图3象上是否存在两点使
图象在 g(x) x3 x的2 图像的下方。
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分析：条件①函数 f (x) x2 ln x
②隐含条件 x 0 问题 (1)求函数在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当∈(1，＋∞)时，函数 f (x) 的图象 在g(x) 2 x3 1 x2 的图像的下方．