多元微分学P85-练习1 设)cos(2z y e w x+=，而3x y =，1+=x z ，求dxdw ． 解：dw w w dy w dz dx x y dx z dx∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+⋅23232cos((3x e x x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦P86-练习2 设函数20sin (,)1xyt F x y dt t =+⎰，则222x y F x==∂=∂ ． （2011）解：2222222222sin cos (1)2sin ,1(1)F y xyF y xy x y xy xyy x x y x x y ∂∂+-==⋅∂+∂+， 故22024x y Fx ==∂=∂P86-练习3 设)(22y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ∂∂ ，22yz∂∂．（2006）解：z f x ∂'=∂； 2223222222).(z x y f f x x y x y ∂'''=⋅+⋅∂++ 同理可求 222222222()z y x f f y x y x y ∂'''=⋅+⋅∂++.P87-练习4 设)(),(xyg y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求yx z∂∂∂2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式1221()z y f y f g x y x∂'''=⋅+⋅+⋅-∂,122111122212222211122223323221()111[()][()]11z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x xx⎛⎫∂∂∂⎛⎫'''==⋅∂∂∂''+⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭'''''''''''''='''''''+---++⋅--++⋅--⋅-⋅-=P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂． （2011）解：由题意(1)0g '=。

因为12()zyf yg x f x∂'''=+∂， 21111222122()()()()zf y xfg x f g x f yg x xf g x f x y∂⎡⎤⎡⎤''''''''''''=+++++⎣⎦⎣⎦∂∂，所以21112111(1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y==∂'''''=++∂∂P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ，yx z∂∂∂2． （2009） 解：123123,zzf f yf f f xf x y∂∂''''''=++=-+∂∂ 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y∂∂''''''=+=+++-+∂∂ ()1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf yz x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ∂'''=++∂⎡⎤'''''''''''''∂∂∂'''''''''''=+⋅-+⋅++⋅-+''''''=++-+-+⋅+++⋅-+⋅⎣⎦+P89-练习7 设函数(,)z z x y =由方程0),(=xz x y F 确定，其中F 为可微函数，且02≠'F ，则=∂∂+∂∂yz y x z x． （2010） 解：1212222()0z x z yF zF yz x F F x x x xF ∂⎛⎫⋅-''⎪+∂∂''⋅-+⋅=⇒= ⎪∂'⎪⎝⎭； 1122110F zzF F x x yy F '∂∂''⋅+⋅⋅=⇒=-∂∂' 则 z zx y z x y∂∂+=∂∂P92-练习8 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（A ）(0)1f >，(0)0f ''> （B ）(0)1f >，(0)0f ''<（C ）(0)1f <，(0)0f ''> （D ）(0)1f <，(0)0f ''< （2011） 解：()()ln (),(),()zz f y f x f y f x x y f y '∂∂'==∂∂222()()ln (),()()zz f y f x f y f x x x y f y '∂∂'''==∂∂∂， []2222()()()().()f y f y f y zf x y f y '''-∂=⋅∂ 在点(0,0)处，[]222222222(0)ln (0),()(0)ln (0)z z z z f f f f x x y x y ∂∂∂∂''''=-⋅=-∂∂∂∂∂，当(0)ln (0)0f f ''>且[]2(0)ln (0)0f f ''-<时，即(0)1f >，(0)0f ''>时，()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值。

故选 (A)P93-练习9 已知平面曲线0),(:=y x f L ，其中),(y x f 可微分，且(,)0y f x y '≠．),(00y x A 是曲线L 外一个固定点．试证：如果点),(βαB 在曲线L 上且是L 到A 的最近或最远的点，则),(),(00βαβαβαy xf f y x ''=-- ． 解：在L 上任取一点(,),P x y d AP =，则d = 约束条件(,)0f x y =考虑22200()()d x x y y =-+-在条件(,)0f x y =下的极值问题作2200()()(,)F x x y y f x y λ=-+-+，则'0'02()'(,)02()'(,)0x x yy F x x f x y F y y f x y λλ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，AB 取极值 (,)B αβ∴为驻点， 故有00002()'(,)0(,)2()'(,)0(,)x x y y x f x f y f y f αλαβααββλαββαβ-+=⎧'-⇒=⎨-+='-⎩P94-练习10 某工厂要利用钢板做一个容积为定值V 的无盖长方体水箱，问该水长、 宽、高分别为多少时，所用材料最省？解 设该水箱的长、宽、高分别为,,x y z ，长方体水箱的表面积为S . 由条件知2(),S xy xz yz =++而V xyz =，考虑2()S xy xz yz =++在V xyz =条件下的条件极值，作2))((xy xz yz xyz F V λ++-+=令20202()0y z yz x z xz x y xy xyz Vλλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪=⎩，得驻点为，.P97-练习11 设向量{}2,()xy y x ϕ是某函数),(y x f z =的梯度，其中()x ϕ有连续 导数且(0)0ϕ=．求()x ϕ及),(y x f ． 解：取2,()P xy Q y x ϕ==，若向量{}2,()xy y x ϕ是某函数),(y x f z =的梯度，则有Q Px y∂∂=∂∂ 即2()2()2()y x xy x x x x C ϕϕϕ''=⇒=⇒=+ 由(0)0ϕ=得20()C x x ϕ=⇒= 且2,()zzxy y x x yϕ∂∂==∂∂， ⇒ 221(),2z x y C y =+而22()x x C zy y yy '=+∂=∂，知()C y C = 所以 221(,).2f x y x y C =+P98-练习12 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-==32,,t z t y t x 与平面42=++z y x 平行的切线方程．解：设切点为0000(,,)P x y z ，0P 对应于0t ，则切线向量{}0021,2,3st t =-， 平面的法向量{}1,2,1n =，由题意知 ,0n s n s ⊥⋅=，即2001430t t -+=，解得 01t =或013t =01t =对应的切点为0(1,1,1)P -，{}1,2,3s =-，切线方程为111123x y z -+-==-013t =对应的切点为 0111(,,)3927P -，211,,33s ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 切线方程为111392721133x y z -+-==-P101-练习13 试证：抛物面1:221++=∑y x z 上任意点处的切平面与抛物面222:y x z +=∑所围成的立体体积与切点坐标无关． 证明：设0000(,,)P x y z 是1∑上的任意一点，1∑在0000(,,)P x y z 处的切平面π的方程为 000222z x x y y z =+-+由22000222z x y z x x y y z ⎧=+⎨=+-+⎩消去z ， 得2200()()1x x y y -+-= （注意220001z x y =++）2∑与π所围成的立体在xoy 面上的投影区域为:D 2200()()1x x y y -+-≤，则立体体积为()()()2222000002221)()2DDx x y y z x y d x y d V x y σσπ⎡⎤⎡⎤=+-+-+=----⎣⎦⎣⎦=⎰⎰⎰⎰因为0000(,,)P x y z 是任意的，所以抛物面1:221++=∑y x z 上任意点处的切平面与抛物面222:y x z +=∑所围成的立体体积与切点坐标无关．。