一、有关二次函数的图象变换图形的变换是新课标下的初中数学中的重要内容，在复习二次函数时，可将它的图象--抛物线进行平移、关于x轴、y轴成轴对称或关于原点O(或它的顶点)成中心对称等变换，求对应的抛物线的解析式。
解决这类问题的关键是能正确求出变换后的抛物线的顶点坐标及确定抛物线的开口方向。
例：已知；抛物线y=-x2+2x+3，回答下列问题，(1)分别写出此抛物线的顶点P，与x轴的两个交点A、B(A点在B点的左侧)，与y轴的交点c的坐标。
答：P(1，4)，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)(2)求抛物线y=-x2+2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式。
解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，因为此抛物线的顶点P(1，4)关于y轴的对称点为P1(-1，4)，所以，所求抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3。
(在这个变换过程中，点C(0，3)是不动点)(2)求抛物线y=-x2+2x+3关于x轴对称的抛物线的解析式。
解：若以抛物线y=-x2+2x+3的顶点入手，∵点P(1，4)关于x轴的对称点为P2(1，-4)，而且原抛物线y=-x2+2x+3在关于x轴对称的变换过程中，开口方向由向下变为向上，∴所求抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3(在这个变换过程中，点A(-1，0)，B(3，0)是不动点)若以函数值的正、负入手，抛物线y=-x2+2x+3关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-(-x2+2x+3)=x2-2x-3。
(3)求抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的抛物线的解析式解：∵点P(1，4)关于原点O的对称点为P3(-1，-4)，而且抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的过程中开口方向由向下变为向上，∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-4，即y=x2+2x-3。
(在这个变换过程中，原抛物线y=-x2+2x+3上的点，都绕原点O旋转180°)(4)求抛物线y=-x2+2x+3关于顶点P对称的抛物线的解析式。
解：∵抛物线y=-x2+2x+3关于顶点P对称的抛物线与原抛物线的顶点相同，开口方向相反，∴所求抛物线的解析式为y=(x-1)2+4，即y=x2-2x+5(5)若将抛物线y=-x2+2x+3向左平移2个单位长度，且向下平移3个单位长度，求所得抛物线的解析式。
解：当抛物线y=-x2+2x+3向左平移2个单位长度，且向下平移3个单位长度时，原抛物线的顶点P(1，4)移至P5(-1，1)点，∴所求抛物线的解析式为y=-(x+1)2+1，即y=-x2-2x研究思考题：1. 已知：函数y=x2-2x-3，试分别画下列函数的图象。
(1)y=|x2-2x-3|(2)y=|x|2-2|x|-3参考解答：(1)解：y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)(2)解：函数的图象关于y轴对称二、依据已知条件，正确求出二次函数的解析式二次函数的解析式是研究二次函数性质的基本依据，因此，有关二次函数的综合题，往往要求考生能依据已知条件，正确求出相应的函数解析式，这是解决问题的第一步。
例2. 已知：如图，抛物线y=-2x2+mx+m与x轴的一个交点为A，与y轴的交点为C，且OA=OC，求m的值。
分析：解题的关键是，如何利用C点的坐标(0，m)以及OA=OC这个条件，正确表示出A 点的坐标。
解：由已知，抛物线y=-2x2+mx+m与y轴的交点C的坐标为(0，m)∵OA=OC，A点在x轴的负半轴上，∴x A=-m，即A点的坐标为(-m，0)又∵点A在抛物线y=-2x2+mx+m上，∴-2m2-m2+m=0即3m2-m=0解得m=0或∵抛物线y=-2x2+mx+m与x轴有两个公共点，∴△=m2+8m>0∴m=0舍去，即此抛物线的解析式为研究思考题：若抛物线y=-2x2+mx+m与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，其顶点为P，且∠APB=90°，求m的值。
参考解答解：令y=-2x2+mx+m=0，设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1，x2是方程-2x2+mx+m=0的两个根，由求根公式，不难得出，其中m<-8或m>0，又∵此抛物线的顶点P的坐标为∴∠APB=90°时，由抛物线的对称性，得△APB是等腰直角三角形，即m2+8m-4=0解得例3.已知：如图10，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于点C，顶点为D，以BD为直径的⊙M恰好过点C。
(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。
解：(1)∵A(-1，0)，B(3，0)是抛物线y=ax2+bx=c(a<0)与x轴的两个交点∴不难得出y=a(x+1)(x-3)(a<0)=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a∴点C(0，-3a)，D(1，-4a)(a<0)如图11所示，作DE⊥y轴于点E，∴E(0，-4a)∵C是⊙M上一点，BD为直径∴∠DCB=90°∴△DEC∽△COB∴a2=1(a<0)解得a=-1∴y=-(x2-2x-3)=-x2+2x+3为所求。
(2)符合条件的点P存在，且共有三个，理由如下①∠DPB=90°，则点P与点C重合，即P1(0，3)为所求；②若∠PBD=90°，如图12所示，作DH⊥x轴于点H，PF⊥x轴于点F，则△PFB∽△BHD，设点P的坐标为(p，-p2+2p+3)，其中p<0，则PF=|-p2+2p+3|=p2-2p-3FB=x B-x F=3-p，HB=2，HD=4，2p2-4p-6=3-p2p2-3p-9=0(p<0)(2p+3)(p-3)=0∵p<0，∴只有③若∠PDB=90°，如图13所示，作PQ⊥DE于点Q∵∠EDH=∠PDB=90°∴∠QDP=∠HDB∴△PQD∽△BHD设P点的坐标为，其中0<p<1，则QD=x D-x P=1-pPQ=y D-y P=4-(-p2+2p+3)=p2-2p+1由2(p2-2p+1)=1-p2p2-3p+1=0(2p-1)(p-1)=0∵0<p<1从而综上所述，符合条件的点P的坐标分别为P1(0，3)，研究思考题：已知：抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，若△ABC的面积为6，求此抛物线的解析式。
参考解答：解：令y=x2-(2m-1)x+(m2-m-2)=0x2-(2m-1)x+(m-2)(m+1)=0[x-(m-2)][x-(m+1)]=0x-(m-2)=0或x-(m+1)=0x=m-2或x=m+1∵m-2<m+1∴x A=m-2，x B=m+1∴A(m-2，0)，B(m+1，0)，且AB=3由已知，C(0，m2-m-2)若m2-m-2>0时，∵△ABC的面积=6m2-m-6=0(m-3)(m+2)=0解得m=3或m=-2当m=3时，y=x2-5x+4，当m=-2时，y=x2+5x+4，若m2-m-2<0时，∵△ABC的面积=6即m2-m+2=0∴△=1-8=-7<0∴方程无实根，(即此种情况无解)二次函数的解析式问题的提出：改革开放后不少农村都用上了自动喷灌设备如图1所示，设水管AB高出地面1.5米，在B 处有一个自动旋转的喷头，一瞬间，喷头的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，求水流的落地点D离A点的距离是多少米。
分析：在这个实际问题中，由于一瞬间，喷头喷出的水流呈开口向下，对称轴与地面垂直的抛物线，因此，欲求水流落地点D离A点的距离，可通过建立适当的直角坐标系，求出水流形成的抛物线的解析式(即目标函数)，就可使问题得以解决。
解：如图2，建立直角坐标系(A为坐标系原点，射线AB为y轴的正半轴，射线AD为x轴的正半轴，由题意可得B(0，1.5)，C(2，3.5)设水流形成的抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3.5(0≤x≤x D)∵点B(0，1.5)在抛物线上∴a(0-2)2+3.5=1.5，解得令y=0，即∴答：水流落地点D离喷水管AB的水平距离AD为米。
从这个实际问题的解决过程可以看出，如果要用二次函数的知识解决某些实际问题，求出解决该问题所需目标函数的解析式就成为问题的关键。
知识要点：一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式。
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件。
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解。
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解。
(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标。
例题解析：例1.已知抛物线经过A(1，0)，B(0，-3)，且对称轴x=2，试求出函数关系式。
[分析]由于已知条件中有对称轴方程，由此既可用一般式，也可用顶点式，利用待定系数法来求函数关系式。
解法1：由已知，设y=ax2+bx-3为所求，则∴所求函数的解析式为y=-x2+4x-3解法2：由已知，设所求解析式为y=a(x-2)2+k，则∴y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3∴所求函数的解析式为y=-x2+4x-3.说明：在设二次函数的解析式时，要充分利用已知条件，使待定的字母系数尽可能少。
例2.一条抛物线的形状与抛物线y=x2相同，且对称轴是直线，与y轴交于点(0，-1)，试求函数表达式.解：∵所求抛物线的形状与抛物线y=x2相同，且与y轴交于点(0，-1)∴|a|=1且c=-1∴设y=x2+b1x-1或y=-x2+b2x-1为所求抛物线的解析式又∵它的对称轴是直线即b1=1或b2=-1∴所求函数的表达式为y=x2+x-1或y=-x2-x-1.说明：解例2这样的问题，一定要认真仔细审题，准确理解题意，如果“认为一条抛物线的形状与抛物线y=x2相同”，就是a=1，那么就会出现丢解。
例3.设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，如图3所示，若AC=20，BC=15，∠ACB=90°，求这个二次函数的解析式。