裂项相消法
数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和
方法称为裂项相消法。

适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的
裂项方法：
（1）
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++ （2
1
k
=
，特别地当1k =
=例1、数列{}n a 的通项公式为1
(1)
n a n n =+，求它的前n 项和n S
解：1231n n n S a a a a a -=+++++L ()()
1111112233411n n n n =
+++++⨯⨯⨯-+L =111111
11112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
1111
n
n n =-
=
++ 小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.
L L 的前n 项和n S . 例题2：(2015安徽,18,12分)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.
(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,
又a1+a4=9,可解得或
(舍去).
由a4=a1q3得公比为q=2,故a n=a1q n-1=2n-1.
(2)S n==2n-1,又
b n==
=
-,
所以T n=b1+b2+…
+b n=+
+…
+=
-
=1-.
例三：等差数列的公差为
，且
成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项
公式；
（Ⅱ）设，求数列
的前
项和
．
解：(Ⅰ)，
又成等比数列，所以
，
所以，解得
，所以
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
，则。