第四章 遗传算法与组合优化4.1 背包问题（knapsack problem ）4.1.1 问题描述0/1背包问题：给出几个尺寸为S 1，S 2，…，S n 的物体和容量为C 的背包，此处S 1，S 2，…，S n 和C 都是正整数；要求找出n 个物件的一个子集使其尽可能多地填满容量为C 的背包。

数学形式：最大化 ∑=n i i iX S 1满足,1C X S n i i i ≤∑= n i X i ≤≤∈1},1,0{广义背包问题：输入由C 和两个向量C ＝(S 1，S 2，…，S n )和P ＝(P 1，P 2，…，P n )组成。

设X 为一整数集合，即X ＝1，2，3，…，n ，T 为X 的子集，则问题就是找出满足约束条件∑∈≤T i i C X，而使∑∈Ti i P 获得最大的子集T ，即求S i 和P i 的下标子集。

在应用问题中，设S 的元素是n 项经营活动各自所需的资源消耗，C 是所能提供的资源总量，P 的元素是人们从每项经营活动中得到的利润或收益，则背包问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问题。

广义背包问题可以数学形式更精确地描述如下：最大化 ∑=n i i iX P 1满足,1C X S n i i i ≤∑= n i X i ≤≤∈1},1,0{背包问题在计算理论中属于NP —完全问题，其计算复杂度为O (2n )，若允许物件可以部分地装入背包，即允许X ，可取从0.00到1.00闭区间上的实数，则背包问题就简化为极简单的P 类问题，此时计算复杂度为O (n )。

4.1.2 遗传编码采用下标子集T 的二进制编码方案是常用的遗传编码方法。

串T 的长度等于n(问题规模)，T i (1≤i ≤n )＝1表示该物件装入背包，T i ＝0表示不装入背包。

基于背包问题有近似求解知识，以及考虑到遗传算法的特点（适合短定义距的、低阶的、高适应度的模式构成的积木块结构类问题），通常将P i ，S i 按P i /S i 值的大小依次排列，即P 1/S 1≥P 2/S 2≥…≥P n /S n 。

4.1.3 适应度函数在上述编码情况下，背包问题的目标函数和约束条件可表示如下。

目标函数：∑==ni i i P T T J 1)(约束条件：C S T n i i i ≤∑=1按照利用惩罚函数处理约束条件的方法，我们可构造背包问题的适应度函数f (T )如下式： f (T ) = J (T ) + g (T )式中g (T )为对T 超越约束条件的惩罚函数，惩罚函数可构造如下:式中E m 为P i /S (1≤i ≤n )i 的最大值，β为合适的惩罚系数。

4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem ——TSP ）在遗传其法研究中，TSP 问题已被广泛地用于评价不同的遗传操作及选择机制的性能。

之所以如此，主要有以下几个方面的原因：(1) TSP 问题是一个典型的、易于描述却难以处理的NP 完全（NP-complete ）问题。

有效地解决TSP 问题在可计算理论上有着重要的理论价值。

(2) TSP 问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。

因此，快速、有效地解决TSP 问题有着极高的实际应用价值。

(3) TSP 问题因其典型性已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准，而遗传算法就其本质来说，主要是处理复杂问题的一种鲁棒性强的启发式随机搜索算法。

因此遗传算法在TSP 问题求解方面的应用研究，对于构造合适的遗传算法框架、建立有效的遗传操作以及有效地解决TSP 问题等有着多方面的重要意义。

问题描述：寻找一条最短的遍历n个城市的路径，或者说搜索整数子集X＝{1，2，…，n}（X的元素表示对n个城市的编号）的一个排列π(X) = {v1，v2，…，v n}，使取最小值。

式中的d(v i, v i+1)表示城市v i到城市v i+1的距离。

4.2.1 编码与适应度函数编码1．以遍历城市的次序排列进行编码。

如码串1 2 3 4 5 6 7 8表示自城市l开始，依次经城市2，3，4，5，6，7，8，最后返回城市1的遍历路径。

显然，这是一种针对TSP问题的最自然的编码方式。

这一编码方案的主要缺陷在于引起了交叉操作的困难。

2．采用“边”的组合方式进行编码。

例如码串2 4 5 3 6 8 7 1的第1个码2表示城市1到城市2的路径在TSP圈中，第2个码4表示城市2到城市4的路径在TSP圈中，以此类推，第8个码1表示城市8到城市1的路径在TSP圈中。

这一编码方式有着与前面的“节点”遍历次序编码方式相类似的缺陷。

3．间接“节点”编码方式。

以消除“一点交叉”策略（或多点交叉策略）引起的非法路径问题。

码串长度仍为n，定义各等位基因的取值范围为（n –i + 1），i为基因序号，解码时，根据相应基因位的取值，从城市号集合中不回放地取一个城市号，直至所有城市号被取完。

由于这种编码方式特征遗传性较差，因此现行的研究中很少采用。

适应度函数适应度函数常取路径长度T d的倒数，即f＝1/T d若结合TSP的约束条件（每个城市经过且只经过一次），则适应度函数可表示为：f＝1/(T d+α*N t)，其中N t是对TSP路径不合法的度量(如取付N t为未遍历的城市的个数)，α为惩罚系数，常取城市间最长距离的两倍多一点(如2.05*d max)。

4.2.2 交叉策略问题：基于TSP问题的顺序编码（其它编码如以边的组合状态进行编码也呈现相似特性），若采取简单的一点交叉或多点交叉策略，必然以极大的概率导致未能完全遍历所有城市的非法路径。

如8城市的TSP问题的两个父路径为1 2 3 4 | 5 6 7 88 7 6 5 | 4 3 2 1若采取一点交叉，且交叉点随机选为4，则交叉后产生的两个后代为8 7 6 5 5 6 7 81 2 3 4 4 3 2 1显然，这两个子路径均未能遍历所有8个城市，都违反TSP问题的约束条件。

可以采取上述构造惩罚函数的方法，但试验效果不佳。

可能的解释：这一方法将本已十分复杂的TSP问题更加复杂化了。

因为满足TSP问题约束条件的可行解空间规模为n!；而按构造惩罚函数的方法，其搜索空间规模变为n n；随着n 的增大n!与n n之间的差距是极其惊人的。

解决这一约束问题的另一种处理方法是对交叉、变异等遗传操作做适当的修正，使其自动满足TSP的约束条件。

常用的几种交叉方法：1．部分匹配交叉(PMX，Partially Matched Crossover)法PMX操作是由Goldberg和Lingle于1985年提出的。

在PMX操作中，先依据均匀随机分布产生两个位串交叉点，定义这两点之间的区域为一匹配区域，并使用位置交换操作交换两个父串的匹配区域。

实例：如两父串及匹配区域为A＝9 8 4 | 5 6 7 | 1 3 2 0B＝8 7 1 | 2 3 0 | 9 5 4 6首先交换A和B的两个匹配区域，得到A’＝9 8 4 | 2 3 0 | l 3 2 0B’＝8 7 1 | 5 6 7 | 9 5 4 6对于A’、B’两子串中匹配区域以外出现的遍历重复，依据匹配区域内的位置映射关系，逐一进行交换。

对于A’有2到5，3到6，0到7的位置符号映射，对A’的匹配区以外的2，3，0分别以5，6，7替换，则得A”＝9 8 4 | 2 3 0 | 1 6 5 7同理可得：B”＝8 0 1 | 5 6 7 | 9 2 4 3这样，每个子串的次序部分地由其父串确定。

2．顺序交叉法(OX，Order Crossover)法与PMX法相似，Davis(1985)等人提出了一种OX法，此方法开始也是选择一个匹配区域：A＝9 8 4 | 5 6 7 | 1 3 2 0B＝8 7 1 | 2 3 0 | 9 5 4 6并根据匹配区域的映射关系，在其区域外的相应位置标记H，得到A’＝9 8 4 | 5 6 7 | 1 H H HB’＝8 H 1 | 2 3 0 | 9 H 4 H再移动匹配区至起点位置，且在其后预留相等于匹配区域的空间(H数目)，然后将其余的码按其相对次序排列在预留区后面，得到A”＝5 6 7 H H H 1 9 8 4B”＝2 3 0 H H H 9 4 8 1最后将父串A，B的匹配区域相互交换，并放置到A”，B”的预留区内，即可得到两个子代：A”’＝5 6 7 | 2 3 0 | 1 9 8 4B”’＝2 3 0 | 5 6 7 | 9 4 8 1虽然，PMX法与OX法非常相似，但它们处理相似特性的手段却不同。

PMX法趋向于所期望的绝对城市位置，而OX法却趋向于期望的相对城市位置。

3．循环交叉（CX，cycle crossover）法Smith等人提出的CX方法与PMX方法和OX方法有不同之处。

循环交叉的执行是以父串的特征作为参考，使每个城市在约束条件下进行重组。

设两个父串为C＝9 8 2 1 7 4 5 0 6 3D＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 0不同于选择交叉位置，我们从左边开始选择一个城市C’＝9一一一一一一一一D’＝1一一一一一一一一再从另一父串中的相应位置，寻找下一个城市：C’＝9一一1一一一一一一一D’＝1一一一一一一一一9一再轮流选择下去，最后可得C’＝9 2 3 1 5 4 7 8 6 1 0D’＝1 8 2 4 7 6 5 1 0 9 34．基于知识的交叉方法这种方法是一种启发式的交叉方法，按以下规划构造后代：(1)随机地选取一个城市作为子代圈的开始城市。

(2)比较父串中与开始城市邻接的边，选取最小的边添加到圈的路径中。

(3)重复第(2)步，如果发现按最小边选取的规划产生非法路径(重复经过同一城市)，则按随机法产生一合法的边，如此反复，直至形成一完整的TSP圈。

使用这一方法，可获得较好的结果。

在200个城市的TSP优化方面，已产生接近由模拟退火程序计算出的最优结果。

不过，这一方法使用了基于问题的一些知识，损失了遗传算法的通用性和鲁棒性。

关于TSP问题的遗传交叉方法还有各种各样的变形方法，一般来说，交叉方法应能使父串的待征遗传给子串，子串应能部分或全部地继承父串的结构特征和有效基因。

4.2.3 变异技术从遗传算法的观点来看，解的进化主要靠选择机制和交叉策略来完成，变异只是为选择、交叉过程中可能丢失的某些遗传基因进行修复和补充，变异在遗传算法的全局意义上只是一个背景操作。

针对TSP问题，主要的变异技术如下述。

1．位点变异变异仅以一定的概率（通常较小）对串的某些位作值的变异。

2．逆转变异在串中，随机选择两点，再将这两点内的子串按反序插入到原位置中，如串A的逆转点为3，6，则经逆转后，变为A’A ＝1 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 0A’＝1 2 3 | 6 5 4 | 7 8 9 0这种变异操作对于TSP问题，就调整前后引起的TSP圈的长度变化而言用于最细微的调整，因而局部优化的精度较高；但码串绝对位置所呈现的“模式”变化较大，所需的计算也稍为复杂一点。