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方法最全的数列求和ppt课件

相消法,即利用 anacn+1=dca1n-an1+1
(其中d=an+1-an).
12
常见的拆项公式有:
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
所以 的通项公式为: 19
(Ⅱ)设求数列
31
2
∴ Tn
(2n
1) 3n1 4
3
17
已知 an是递增的等差数列,
a2 , a4 是方程 x2 5x 6 0 的根。
(I)求 an的通项公式;
(II)(II)求数列
an 2n
的前
n
项和.
18
(I)方程
由题意得

的两根为 2,3, ,
设数列 的公差为 d,,

,故 d= ,从而

2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
8
等比数列 an 的各项均为正数,且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6.
(Ⅰ)求数列an 的通项公式.
(Ⅱ)设
bn
log3
a1
log3
a2
......
log3
an ,
求数列
1 bn
的前
n
项和.
9
(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a32 9a2a6
5.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
13
错位相减法:
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成,此时求和 可采用错位相减法.
既{anbn}型
等差
等比
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已知数列an 前项 n 和 sn n2 4n (n N*) ,数列bn 为等比数列,
= 9 92 9n +2(1+2+…+n) 3
= 3(9n 1) +n2+n 8
3分 4分 5分
8分
5
裂项求和法:
把数列的通项拆成两项之差,即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差,在求和时一些正负项相互抵消, 于是前n项的和变成首尾若干少数 项之和,这一求和方法称为分裂通 项法.(见到分式型的要往这种方 法联想)
n(n 1)
7分
2
1
2
11

2( )
bn n(n 1)
n n 1
1 b1
1 b2
... 1 bn
2
(1
1 2
)
(
1 2
1) 3
...
(
1 n
n
1
1)
2n n 1
所以数列{ 1 } 的前 n 项和为 2n
bn
n 1
10 分
11
1.特别是对于 anacn+1,其中{an}
是各项均不为0的等差数列,通常用裂项
1、看通项,是什么数列,用哪个公式; 2、注意项数 3、注意公比
4
解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,
a1+ 2d=5, 由题意,得 10a1+102×9d=100,
解得 a1=1, d= 2,
所以 an=2n-1.
(Ⅱ)因为 bn= 3an
+2n= 9n 3
+2n,
所以 Tn=b1+b2+…+bn
首项 b1 2 ,公比为 q (q 0) ,且满足 b2 , b3 4q, b4 成等差数列.
(1)求数列an ,bn 的通项公式;
(2)设 cn
3(an
3) bn 4
,记数列cn 的前 n
项和为Tn
,求Tn .
15
解(Ⅰ)当 n=1 时, a1 S1 5 .
当 n≥2 时, an Sn Sn1 n2 4n n 12 4n 1 2n 3
数列的求和
献给玉潭中学最棒的你
1
一.公式法:
①等差数列的前n项和公式:
Sn

n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
na1(q 1)
Sn
a1
(1
q
n
)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
分组求和法
项的特征 cn=an+bn ({an}、{bn}为等差或等比数列。)
6
已知数列an 是等差数列,且 a1 2 , a1 a2 a3 12 . (Ⅰ)求数列an 的通项公式及前 n 项和 S n ;
(Ⅱ)求 1 1 1 L 1 的值.
S1 S2 S3
S10
7
. 解:(Ⅰ)由题意知: a1 a2 a3 3a2 12 ,
a2 4 , d a2 a1 2
得 a33
9a42
所以 q2
1 9

由条件可知 an
>
0
,故 q
1 3

2a1
3a2
1 得 2a1
3a1q
1 ,所以 a1
1 3
故数列{an}的通项式为 an =
1 3n
2分 3分 5分
10
(Ⅱ ) bn log3 a1 log3 a2 ... log3 an
(1 2 ... n)
反思与小结: 要善于从通项公式中看本质:一个等差{2n} +一
个等比{2n} ,另外要特别观察通项公式,如果通项公 式没给出,则有时我们需求出通项公式,这样才能找规 律解题.
3
探究二:
已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn n N* ,a3 5, S10 100, .
(Ⅰ)求数列an 的通项公式; (Ⅱ)设 bn 3an 2n ,求数列bn 的前 n 项和为 Tn.
3 an
3bn
4
n 3n
∴ Tn c1 c2 c3 L cn 1 3 2 32 3 33 L n 3n …①
3Tn
1 32 2 33 3 33 L n 3n1 …………………②
由①-②得: 2 Tn 3 32 33 L 3n n 3n1
3(3n 1) n 3n1 (1 2n) 3n1 3
2分
数列an 的通项公式为: an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n
数列an 的前 n
项和为:
Sn
n(a1 2
an )
n(2
2
2n)
n(n
1)
(Ⅱ)Q 1 1 1 1 1 1 1 L 1
Sn n(n 1) n n 1 S1 S2 S3
S10
(1 1) (1 1) (1 1) L ( 1 1 ) =1- 1 =10
验证 n 1 时也成立.∴数列an 的通项公式为: an 2n 3 ,
∵ b2,b3 4q,b4 成等差数列, b1 2. 所以 2(b3 4q) b2 b4 ,
即 q2 2q 3 0 ,因为 q 0,q 3.

q b1
3 2,∴数列
bn
的通项公式为:
bn
2 3n1
16
(Ⅱ)∵ cn
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