1
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2n
1
n + 16. 6
三、解答题
17.解：（1）由题设及2
sin 8sin
2
A B C B π
π++==得，故
sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0
解得 15
cosB=cosB 17
1（舍去），=
（2）由158cosB sin B 1717==得，故14
a sin 217
ABC S c B ac ∆==
又17
=22
ABC S ac ∆=，则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）
所以b=2
18.解：（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ” ，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ” 由题意知 ()()()()P A P BC P B P C ==
旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为 0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++⨯（） 故()P B 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为 0.0680.0460.0100.0085=0.66+++⨯（） 故()P C 的估计值为0.66
因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
()2
22006266343815.705
10010096104
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯
由于15.705 6.635> 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，
箱产量低于55kg 的直方图面积为 ()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=> 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.5-0.34
50+ 2.35kg 0.068
（）
≈5． 19.解：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．
因为E 为PD 的中点，所以EF AD P ,12EF AD =
,由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ∥，又1
2
BC AD = 所以EF BC ∥．四边形BCEF 为平行四边形， CE BF ∥． 又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面
，故CE PAB ∥平面 （2）
由已知得
BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB u u u r 的方向为x 轴正方向，AB u u u r
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
A-xyz,则
则(000)A ，，，(10
0)B ，，，(110)C ，，，(01P ，
， (10PC =u u u r ，，,(100)AB =u u u r ，，则 (x 1),(x 1BM y z PM y z =-
=-u u u
u r u u u u r
，，，，
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而(00)=n ，，1是底面ABCD 的法向量，所以
0cos ,sin 45BM =n u u u u r
=
即（x-1）²+y ²-z ²=0
又M 在棱PC 上，设,PM PC λ=u u u u r u u u r
则 x ,1,y z λ===
2
由
①，②得x x y y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎪⎪
⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩
=1+=1-22=1(舍去)，=1
z z 22
所以
M 1-,1⎛ ⎝⎭
，从而1-,1⎛= ⎝⎭
AM u u u u r
设()000,,x y z m =是平面ABM 的法向量，则
(
000020
0即00
⎧⎧++
==⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩x y AM AB x u u u u r g u u u
r g m m
所以可取m =（0，
2）.
于是cos =
=g m n
m,n m n
因此二面角M-AB-D
20.解 （1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y u u u r u u u u r
由=
NP u u u r u u u r
得00=,=
x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22
122+=x y
因此点P 的轨迹方程为222+=x y
（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则
()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn u u u r u u u r u u u r u u u r g ， ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n u u u r u u u r
由1=OP PQ u u u r u u u r
g 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故 3+3m-tn=0
所以0=OQ PF u u u r u u u r g ，即⊥OQ PF u u u r u u u r
过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解：（1）()f x 的定义域为()0，
+∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1
1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x
若a =1，则()1
1-
g'x =x
.当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0
≥g x g
综上，a=1
（2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=--
设()1
22ln ,则'()2h x x x h x x
=--=-
当10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()'＜0h x ；当1,+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭
时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单调递减，在1,+2
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
单调递增 又()
()21＞0,＜0,102h e h h -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以()h x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭有唯一零点x 0，在1,+2
⎡⎫
∞⎪⎢⎣⎭
有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，
()＞0h x ；当()0,1x x ∈时，()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x .
因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点
由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)
f x x x f x x x ==--
由()00,1x ∈得()01
'＜
4
f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()()
110,1,'0e f e --∈≠得
()()
12
0＞f x f e e --=
所以()2-20＜＜2e f x -
22.解： （1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθ
ρ，M 的极坐标为()()1
1
，＞0ρθρ，由题设知
cos 14
=，=
ρρθ
OP OM = 由16OM OP =g 得2C 的极坐标方程()
cos =4＞0ρθρ
因此2C 的直角坐标方程为()()2
2
240x y x -+=≠
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B
ρα
ρ,由题设知
cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρπααπα∠⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭⎛⎫=--
⎪⎝⎭≤+
g g g 当=-
12
π
α时，S
取得最大值
所以△OAB
面积的最大值为。