2018辽宁省大连市双基考试数学试卷及答案理科2018年大连市高三双基考试数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.C2.D3.B4.A5.B6.D7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.B二．填空题13.6052 16.{1}三．解答题17. 解：（Ⅰ）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB BAD =∠∠， 在ACD ∆中，由正弦定理可得sin sin AC DCADC CAD=∠∠， 因为sin sin ,sin sin ADB ADC BAD CAD ∠=∠∠=∠，所以12AB BD AC DC ==. ┄┄┄┄┄┄4分 （面积法、平面几何法酌情给分）（Ⅱ）法一：因为12BD DC =， 所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，┄┄┄┄┄┄8分 所以2221()33AD AB AC =+，即8448++cos<,9999AB AC =>，所以cos<,0AB AC >=， 所以<,=2AB AC π>，所以ABC∆面积为112=12⨯⨯.┄┄┄┄┄12分法二：设BAD α∠=，则ABD ∆面积为121sin 23α⨯⨯，ACD ∆面积为1222sin 23α⨯⨯，ABC ∆面积为112sin 22α⨯⨯⨯， 所以1221sin 23α⨯⨯122+2sin 2α⨯112sin 22α=⨯⨯⨯，┄┄┄┄┄┄8分 2sin 22sin cos αααα==，所以2sin cos 2αα==，所以ABC ∆面积为112sin 2=12α⨯⨯⨯.┄┄┄┄┄┄12分 法三：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别利用余弦定理，得到：22222222()12(2332222222t t t t +-+-=⨯⨯⨯⨯（），解得5t =，┄┄┄┄┄┄8分所以225BC AB AC ==+ABC ∆为直角三角形，面积为112=12⨯⨯.┄┄┄12分法四：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别对BAD CAD ∠∠、利用余弦定理，22222222221)2(2)332222212233t t +-+-=⨯⨯⨯⨯，解得5t =，┄┄┄┄┄┄8分所以225BC AB AC ==+ABC ∆为直角三角形，面积为112=12⨯⨯.┄┄┄12分18.解：（Ⅰ）设移动支付笔数为X，则4~(10,)5X B ，┄┄┄┄┄┄2分 所以4418108,105555EX DX =⨯==⨯⨯=.┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）因为222()5002703017030)= 2.841 3.841()()()()44060300200n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯=≈<++++⨯⨯⨯（，┄┄┄┄┄9分所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.┄┄┄┄┄┄12分19. （Ⅰ）法一：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ， 所以'C O ⊥平面ABD ，┄┄┄┄┄┄2分因为AD ⊂平面ABD ，所以'C O ⊥AD ， 假设'90ADC ∠=，即'AD DC ⊥，因为'''C O DC C =，'C O ⊂平面'BCD ，'DC ⊂平面'BC D，所以AD ⊥平面'BC D ，又BD ⊂平面'BC D ，所以AD BD ⊥，与已知90ADB ∠≠矛盾，所以假设不成立. 所以'90ADC ∠≠.┄┄┄┄┄┄4分 法二：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ，所以'C O ⊥平面ABD ，过O 作OE BD ⊥交AB 于点E ，以O 为坐标原点，,,'OD OE OC 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 所以3133(,0,0),(0,0),22C B D A -，，所以，1333(,,0),'(,0,22AD C D =-=，所以3'04AD C D ⋅=≠， 所以'90ADC ∠≠.┄┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的方法二可知，333313'(1,,),'(,0,),'(,0,222222C A CD C B =-=-=--设平面'ADC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，所以有'0'0m C A m C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即DABC'OEDAC'xyz O111113302233022x y z x z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，不妨令11x=，则1133,3zy ==，即3(1,,3)3m =，┄┄┄┄┄┄6分设平面'ABC 的一个法向量为222(,,)n x y z =，所以有'0'0n C A n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222223302213-02x y z x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨令23x =，则223,33zy =-=-，即(3,33,3)n =-，┄┄┄┄┄┄8分所以3cos ,||||1313393m nm n m n ⋅<>===-⨯.┄┄┄┄┄┄10分由题可得，二面角'B AC D --的余弦值为313-.┄┄┄┄┄┄12分20.解：（Ⅰ）显然点A 在椭圆外，所以1||||PF PA -22(||||)a PA PF =-+，当P 在线段2AF 上时2||||PA PF +取到最小值，1||||PF PA -取到最大值222()a a c b -+2分又12c a =，化简222222()2()24a a a a cb a a a a-+=-+-=，为长半轴长.┄┄┄4分（Ⅱ）由12c a =，可得32b a =，所以椭圆方程可化简为222343xy a +=，2AF 斜率为3b a c=-， 所以可以设直线l 方程为3y x m=+，其与椭圆联立可得：2221583430x mx m a ++-=，且22180480am ∆=->┄┄┄┄┄┄5分设1122(,),(,)M x y N x y ，根据两点间距离公式及韦达定理可得222224||1804845121515MN a m a m =-=-根据点到直线距离公式可得，O 到直线l 的距离为||2m ，┄┄┄┄┄8分 所以22222222214451221523312(4512)312(4512)909024OMN m S a m m a m a m a m ∆=-⎫+-=-≤=⎪⎝⎭当224524a m =时，上式的等号成立，面积取到最大值23a ，所以23=34a ，即22=4,3a b=，即椭圆C 的方程为22143x y +=.┄┄┄┄┄12分21.解：（Ⅰ）法一：()0f x ≤可得ln 2x a x +≥，┄┄┄┄┄┄1分 设ln 2()(0)x g x x x +=>，则2ln 1'()(0)x g x x x --=>，1'()00g x x e >⇒<<，1'()0g x x e<⇒>， 所以函数()g x 在区间1(0,)e 上为增函数，在1(+)e∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分 所以max1()()g x g ee==.所以实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分法二：显然0a ≤时，(1)0f >，不符合题意；┄┄┄┄┄1分当0a >时，1'()ax f x x -=，1'()00f x x a >⇒<<，1'()0f x x a<⇒>， 所以函数()f x 在区间1(0,)a 上为增函数，在1(+)a∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分 所以max11()()ln 10f x f a a==+≤，解得实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知+1212ln 222x x e ee x x e x ex +--≥--+，┄┄┄┄┄6分 设12()2(0)2x e h x ex ex x +=--+≥，则1'()x h x eex e+=--，令()'()x h x φ=，则1'()x x eeφ+=-，当0x >时，恒有'()0x φ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以0x >时，()(0)2 4.72h x h e >=+≈，┄┄┄┄┄9分 又112211ln 4.85222e e+-⨯-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分法二：设2()1(0)2xx h x e x x =---≥，则'()1xh x ex =--，令()'()x h x ψ=，则'()1xx eψ=-当0x >时，恒有'()0x ψ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以()(0)0h x h >=， 所以当0x >时，2+122ln (1)ln ln 222x e x eex x e x x x ex e x -->++--=+-，设()+ln t x ex e x =-，则1'()t x e x=-，1'()0t x x e >⇒>，1'()00t x x e<⇒<<， 所以函数()t x 在区间1(0,)e 上为减函数，在1(+)e∞，上为增函数， 所以1()()2 4.72t x t e e ≥=+≈，┄┄┄┄┄9分 又112211ln 4.85222e e+-⨯-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分22.解：（Ⅰ）4sin ((0,))2πρθθ=∈可以化为224(0)xy y x +=>，其参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（参数(,)22ππβ∈-）. ┄┄┄┄┄4分 (Ⅱ)由题得||4sin OP α=，6||sin cos OQ αα=+，其中(0,)2πα∈，┄┄┄┄┄6分所以2||221cos 2sin 22sin 2cos 21(sinsin cos )()=()||3322322OP OQ ααααααα--=+=++2212+1=[)]32423πα-+≤，┄┄┄┄┄8分因为32(,)444πππα-∈-，所以当242ππα-=即38πα=时取到等号， 所以||||OP OQ 的最大值为2+13.┄┄┄┄┄10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，1()|21|||02f x x x =+--<，即1|21|||2x x +<-， 两边平方可得221(21)()2x x +<-，解得31(,)26x ∈--.┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）1,2211()3,22211,22a x a x a a f x x a x a a x a x a a ⎧---≤-⎪⎪⎪=+--<≤⎨⎪⎪++>⎪⎩，所以()f x 在(,)2a -∞-上为减函数，在(,)2a-+∞为增函数，┄┄┄┄┄6分()f x 的最小值11()()2122222a a a m f a a=-=-+≤-⨯=-，当且仅当122a a=即1a =时取到等号. ┄┄┄┄┄8分 所以32+10,10m m≤-≥，所以532322321()(1)1(1)(1)0m m m m m m m m ---=--+=+-≤.所以5321mm m -≤-┄┄┄┄10分。