∇ 2ϕ = −
ρ ε
∇ 2ϕ = 0
在无源区， ρ = 0 ，变为拉普拉斯方程
§2.4 静电场的边界条件 1 单独的微分方程只能给出含有未知常数的通解。 只有加上边界条件， 才能给出唯一确定的 特解 2 边界条件 电场强度
r r r n × ( E1 − E2 ) = 0 r ρ r r n ⋅ ( D1 − D2 ) = s 0
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第二章 静电场和恒定电流电场
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不再移动（静电场定义要求） 2） 静电场中的导体（静态） ：内部电场为零，导体为等位体，导体表面为等位面，自由电 荷集聚在表面，形成面电荷分布。 3） 边界条件：
Et = 0 Dn = ρ s
电力线象直立的头发，科学馆的例子 5 边值问题求解的一般过程：1）选取坐标系：尽量要坐标面与等位面重合或平行。2）写出 方程的通解，如果有几种媒质，要分区写出通解。3）根据边界条件确定通解中的积分常数， 给出特解。4）如果求解区域至无穷远，无穷远也是边界之一。 §2.5 电容 1 电容的物理意义：电容是储藏电场能量的度量。 2 电容的分类（导体数目） 1） 单导体： C = Q / ϕ 净电荷与导体电位的比（无穷远为电位参考点） 2） 双导体： C = Q / U 3） 多导体：相当于电路中的多个电容器的网络
电位移矢量
电位， （电场为电位的梯度，不能无限大。该条件与电场强度的边界条件等效
ϕ1 = ϕ 2
电位移矢量边界条件的电位形式
ε1
ρ ∂ϕ1 ∂ϕ −ε2 2 = s ∂n ∂n 0
3 特定情况：两边都是电介质，折射定律 4 特定情况：一边导体，一边电介质。 1） 静电场中的导体（动态） ：当导体受到外电场作用时，导体自由电子移动到导体表面， 由此产生的附加电场与原来的外加电场抵消，使得导体内部总电场为零，进而自由电子
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第二章 静电场和恒定电流电场
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第二章 静电场和恒定电流电场
§2.1 静电场的基本方程 1 静电场的定义：场的源－电荷，相对于观察者（坐标系）静止。 2 静电场的基本方程：
∂ = 0 ，因此有 ∂t r ∇ × H = 0 r ∇ × E = 0 r ∇ ⋅ D = ρ r ∇ ⋅ B = 0
r r D = εE r r B = µH
可以发现电场量（ E , D, ε ）与磁场量（ H , B, µ ）无耦合，故可以单独研究静电场和静磁 场。于是静电场的基本方程是
r r
r r
r ∇ × E = 0 r ∇ ⋅ D = ρ
r r D = εE
3 静电场的物理特性；1）场源：电荷，散度源，旋度为零，是保守场，可以定义势能。2） 电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终于负电荷或带负电荷的导体或无 穷远。3）与磁场关系：无关。 §2.2 电位 1 为什么需要电位：1）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。2）静电场电位有物理 意义：电位是单位正电荷的势能。3）电位比电场易测量。 2 电位定义：前提是旋度为零。 任何标量梯度的旋度恒等于零： ∇ × ∇ϕ = 0 （梯度的物理解释：最陡） 因此只要让 E = −∇ϕ 静电场的旋度方程自然满足。 3 电位的物理意义： 任意一点 A 的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点 P （零电位点） 电场力所做的功， 也就是外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移到该点所做的功。数值上 也就是单位正电荷所具有的势能。
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N
P
A M
W AMP − W ANP = W AMP + W ANP
所以
r r = ∫ E ⋅ dl = 0
AMPNA
W AMP = W ANP
因此我们才可以说（在静电场条件下）电位是单位正电荷的势能。势能本身就意味着它只与 状态有关，与过程无关。 4 电位参考点的选择：1）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。2）电荷分布到无穷远，在 有限区域任选一点作参考点。3）同一问题，参考点应该统一。4）参考点的选择不会影响电 场，电场只与电位差有关，绝对电位没有意义，只有电位差才有意义。 5 电位的计算：1）点电荷情况。2）电荷系情况：叠加原理成立，求和。3）求和变为积分。 §2.3 电位方程－泊松方程 1 前面我们只涉及已知电荷求电场或电位， 但实际情况往往是电荷的分布不知道， 只知道导 体上的相对电位，电位方程满足这个要求。 泊松方程
r
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r r r r r P r P r P r P A A W AP = ∫ F ⋅ dl = ∫ qE ⋅ dl →∫ E ⋅ dl = − ∫ ∇ϕ ⋅ dl = ∫ ∇ϕ ⋅ dl = ∫ dϕ = ϕ A − ϕ P = ϕ A
A A A A P P
上式结果与 A 点到 P 点的具体路径无关，这是因为