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函数图象的三种变换
函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：
一、平移变换
2，在同一坐标系中画出：＝x设f(x)例1
(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；
(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图
(2)如图
点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；
y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；
y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．
小结：
二、对称变换的图象，并观察两个函数图)－xy＝f(x＋1，在同一坐标系中画出y＝f()和x例2设f(x)＝象的关系．1的图象如图所示．＝－x＋x与y＝f(－)＋y解画出＝f(x)＝x1
由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．
点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
三、翻折变换
例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数1 / 6
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图象的关系．
解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所
示．
点评要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解如下图所
示．
点评要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可．
小结：
保留x轴上方图象y?f(x)????????y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：
y yy函数图象自身的对称性四y=f(x)y=f(|x|)y=|f(x)|a?b?f(a?x)?f(b?x)?f(a?b?(x)x)?f(x)y?f?x函数对称的图象关于直
1.2a ox cba xo c xo bcab y?f(x)(a,b)?2b?f(x)?f(2a?x)对称函数的图象关于点
2.?f(x)?2b?f(2a?x)?f(a?x)?f(a?x)?2b
f(x)??f(?x)f(x)f(x)?f(?x)f(x)的图象的图象关于原点对称，若 3.若，则，则y轴对称。

关于基础训练
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同. (×)
(×)
的图象关于原点对称f)＝(2)函数yf(x与y＝－(x).
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称. (√)
(4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象.
(×)
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如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满2.之间的关系，其中不正确的有t为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间)
(
．4个个 D B．2个C．3A．1个之间的函数关系式h和时间t解析对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的．A. 故只有第一幅图不正确，因此选A 答案
是典型的数形结合问题，本题考查函数的对应关系．由容器的形状识别函数模型，点评近两年的高考越来越注重对”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．“只想不算理性思维能力的考查．的函数关系的图象如图所示，与水深h3.向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注
水量V)
那么水瓶的形状是
(
VH0，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水>＝，此时注水量V′解析取水深h22 量的一半．VV00B.
、D，选V′＝，故排除A、C，A中V′<C、D中221 )．1－的图象是(4．函数y＝
1x－
1－1－＝1个单位，再向上平移一个单位，解析将y即可得到函数y＝的图象向右平移1
x1x－B
答案的图象．
)，则图②的图象对应的函数为xfy5．已知图①中的图象对应的函数为＝()(．3 / 6
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A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
?，0，x≥f?－x???C
答案|)解析y＝f(－|x＝?0.＜?，xf?x?2a???yxx a y与曲线．的取值范围是＝1有四个交点，则________6.直线
2axy?x??是偶函数如图所示，51?a1?1?aa???44是对称；已知的图像关于__________7.已知是偶函数，则)2xff(x?2)(f(x)?.
____________对称偶函数，则函数的图像关于)(xf) ((1－x)的图象为y8.已知＝f(x)的图象如图所示，则y＝f
的图象按照如下变换得)的图象可以由y=f(xxf（-(x-1)）,故y=f(1-解析: )Af［因为(1-x)=的图象向右平移一个)x的图象，然后将y=f(-x()的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)到：先将y=f ］(-x+1)
的图象.单位，即得y=f 分别画出下列函数的图象：9.2＋x2)?1?x?2(xy(1) 3）（y |(1)y＝x－2|x－1；(2)＝. 1－x2??x≥0xx－2－1??.
图象如图③＝.(1)y?2?0x－1?x＜2x＋??33个单位，再向上平移1个单位，＝＋y＝1，先作出y 的图象，将其图象向右平移1因(2)x1x－2x＋.
的图象，如图④＝即得y1x－4 / 6
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10.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为_____.
. 的图象x＋1))的图象，再得到y＝－f(y＝f(x)的图象可先得到y＝－f(x思维启迪从轴对称xx)的图象关于需要先将y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，y解析要想由＝f(的图象，根据上述步骤可1)x＋的图象，然后再向左平移一个单位得到)y＝－f(得到y＝－f(x ③答案正确. 知③2的单调区间，并指出其增减性；x)3|.(1)求函数f(x)＝|xx－4＋11．已知函数f( ．有四个不相等的实根}x)＝m求集合M＝{m|使方程f((2)2?，＋∞－∞，1]∪[32?－1，x∈?x?－??＝f(x)解
?2?3?1，?－2＋1，x∈－?x??
作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．
由图知0<m<1，∴M＝{m|0<m<1}．
112.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称.求f(x)的解析式；(2)x 解析：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)11的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0).
xx2－2x＋3，试求f(x)在x>0xy．已知函数＝f()的图象关于原点对称，且x时，f()＝x R上的13表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
解：∵f(x)的图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)，∴当x＝0时，f(x)＝0.
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22－2x－x)＝－x3.
<0x－2x＋3，∴当x时，f(x时，又当x>0 f()＝2?，x>032x＋，x－??，0，0x＝作出函数的图象如图．＝)(∴函数的解析式为fx??2<0.－2x－－x3，x Array根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．
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