分大时, 必有 x p f (x) l , 即
0
f
(x)
M xp
可见 a
f
(x)
d
x收敛 ;
(M l )
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当 p 1时, 可取 0, 使 l 0, (l 时用任意正
数 N 代替 l ), 必有 x p f (x) l
即
f
(
x)
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在 ,
即反常积分 a
f
( x) d
x 收敛
.
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C[a , ),且对充 分大的x 有 0 f (x) g(x) , 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
f
(x) dx 发散
a
f
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f (x) C[a ,),且 f (x) 0,
满足
lim x p f (x) l
x
则有:
1) 当 p 1,0 l
时 a
f (x) d x收敛 ;
2)
当
p
1,0
l
时 a
f
(x)
d
x
发散 .
证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的 0, 当 x 充
则反常积分 a
f
( x) d
x 收敛 .
证：令
(
x)
1 2
[
f
(
x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
a
f（x）d x收敛 ,
a
(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2 (x) f (x)
f (x)d x 2
(x)d x
a
a
a
f (x) d x
可见反常积分
a
f
( x) d
x
一元函数积分学
第一讲 反常积分的审敛法 函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法
二、无界函数反常积分的审敛法
一、无穷限广义积分
定义1. 设 f (x) C [a , ) , 取 b a , 若
b
lim f (x) dx
b a
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分,
N xp
则
a
f
(x)
d
x
发散 .
例1.
判别反常积分
sin 2 x d x 的敛散性 . 1 3 x4 1
解:
0 sin2 x 3 x4 1
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题: 讨论反常积分
13
1 x3
1
d
x
的敛散性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3 x3 1 3 (x 1)3 x 1
t a
a
f (x)dx
极限存在
,
即反常积分
a
f
(x) dx收敛.
若 a
f
( x) dx
发散 ,
因为
t
a
时有
t
t
0 a f (x)dx a g(x)dx
令
t
,
可见反常积分
a
g
(
x)
d x 必发散
.
说明: 已知
a
1 xp
dx
收敛 , 发散 ,
p 1 p 1

(a 0)
故常取 g(x)
A xp
收敛 .
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定义.
设反常积分
a
f
( x) d
x
收敛 ,
若 a
f (x)
dx
收敛
,
则称
a
f
( x) dx
绝对收敛
;
若 a
f
(x)
dx
发散 ,
则称
a
f
( x) dx
条件收敛
.
例4. 判断反常积分 eax sin bx dx (a,b为常数 , a 0) 0
的敛散性 .
l
xp
N x
(N l )
可见 a
f
(x)
d
x 发散.
注意:
lim
x
xp
f
(x)
lim
x
f
(x)
1
此极限的大小刻画了
xp
x 时 f (x) 趋于 0 的快慢程度.
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d x
例2. 判别反常积分1 x 1 x2 的敛散性 .
解: lim x2 1 lim 1 1
记作
b
a
f (x) dx lim f (x) dx b a
这时称广义积分
a
f
(x) dx收敛
; 如果上述极限不存在,
就称广义积分 f (x) dx 发散 . a
注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积
b
2. 无穷限广义积分的计算 a
f (x) dx lim f (x) dx
(A
0) 作比较函数 ,
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)设非负函数 f (x) C[a , )
(a 0).
1) 若存在常数 M 0, p 1, 使对充分大的 x 有
则
a
f
(x)
d
f (x) x收敛 ;
M xp
2) 若存在常数 N 0, p 1, 使对充分大的x 有
f
(x)
(x) dx收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性 , 设 x [a, )时,0 f (x) g(x)
若 g(x) dx收敛 , 则对 t a 有
a
t
t
a f (x) dx a g(x) dx a g(x) dx
故
t a
f
(x)dx 是
t
的单调递增有上界函数
,
因此
t
lim f (x) dx
b a
若 F (x) 是 f (x)的原函数 , 引入记号
F () lim F ( x) ; F () lim F ( x)
x
x
则有类似N – L公式的计算表达式 :
a
f (x)dx F(x) a
F () F (a)
b
f
( x) dx
F ( x)
b
F (b) F ()
f
( x) dx
解: 因 eax sin bx eax , 而 eax dx 收敛 , 根据比 0
较审敛原理知 eax sin bx dx 收敛 , 故由定理5知所 a
给积分收敛 (绝对收敛) .
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(2013)
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
F ( x)
F () F ()
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 设 f (x) C[a , ),且 f (x) 0, 若函数
x
F (x) a f (t) d t
在[a, )上有上界 ,
则反常积分 a
f
(x) d x收敛.
证: f (x) 0, F (x) 在[a, )上单调递增有上界,
x
x 1 x2
x
1 x2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
3
例3. 判别反常积分
x2 1 1 x2
dx
的敛散性
.
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim
x
1
x
2
x
2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5.若
f
(
x)
C
[a
,
)
,
且
a
f（x）d x收敛 ,