第五讲Ⅰ 授课题目：§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。

Ⅱ 教学目的与要求：1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；2、掌握极限的运算法则。

Ⅲ 教学重点与难点：1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；2、用极限的运算法则求极限。

Ⅳ 讲授内容：§2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 11)(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。

当 1→x 时，11-x 越来越大(任意大)，即：+∈∀R E ，要 E x >-11⇒Ex 11<-， 也即：+∈∀R E ，01>∃E ，当 Ex 11<-时，有：E x >-11。

定义2.9：+∈∀R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。

如：∞=-→11lim1x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→tgx x 2lim π。

注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)；2.无穷大不能与很大的数混淆；3.无穷大与无界变量的区别；例如：xx f y sin 1)(== 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。

例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大，)1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>∃>∀有时当则，取22ππ+=n x n ，当n 充分大时必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。

∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。

4.无穷大运算的结论：(1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。

二、无穷小量： 1.概念：定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。

例如：021lim=∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 nny 21=是无穷小量。

注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。

2.两个重要结论： 结论1定理2.9 A y =lim ，⇔α+=A y ，0lim =α。

例如： ?56lim=+∞→x x x ，Θx x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴656lim =+∞→xx x 。

结论2定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，⇒0lim =y α 推论 若：C 为常数，0lim =α⇒0lim =αC 。

例如：?1sinlim 0=→xx x0lim 0=→x x Θ，11sin ≤x ，∴01sin lim 0=→xx x 。

三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：∞=y lim ，⇒ 01lim =y ；若：)0(,0lim ≠=αα⇒∞=α1lim 。

例如：∞=+∞→x x e lim ，⇒ 01lim=+∞→xx e 。

注 无穷大、无穷小与极限过程有关。

四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念：定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，αβlim 也是关于同一过程的极限， 若：0lim=αβ，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβο=；若：∞=αβlim ，则称β是比α低阶的无穷小； 若：)0(lim ≠=c c αβ，则称β是与α同阶的无穷小；特别地：1=c 时，称α与β是等价的无穷小，记：α~β。

例如：212lim0=→x x x Θ，∴ 0→x 时，x 与x 2是同阶无穷小。

注 1.同一过程的无穷小方能比较；2.αβlim存在，方能比较。

2.重要结论：定理2.12 若：α~'α，β~'β，且：∃''lim αβ ，则 αβlim =''lim αβ。

常用的等价无穷小：0→x 时，x x sin ~~tgx ~1~)1ln(~~arcsin -+x e x arctgx x ，……。

例2 设：0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e高阶的无穷小，则 ?=n解 Θ 021lim 2lim sin )1ln()cos 1(lim 3022020===+--→→→n x n x n x x xxxx x x x x ，∴ 03>-n ⇒ ⇒3<n ；又：0lim lim 1sin lim 102002===--→→→n x nx x n x x xxx e x x ，∴01>-n ⇒ 1>n ， 即：31<<n ，故：2=n 。

§2.5 极限的运算法则定理2.13 若：A x =lim ，B y =lim ⇒=±)lim(y x B A y x ±=±lim lim 。

推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1Λ=，⇒ ∑∑∑=====n i ni iin i Ax x 111lim lim。

推论2 0lim lim ==βα，⇒ 0)lim(=±βα 注 可推广到有限个。

定理2.14 若：A x =lim ，B y =lim ⇒ AB y x xy ==lim lim )lim( 推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1Λ=，⇒ ∏∏∏=====n i ni iin i iA x x 111lim lim推论2 0lim lim ==βα，⇒ 0lim =αβ 注 可推广到有限个。

推论3 0)(lim ≠=A x f ，0lim =α，⇒ 0)(lim=x f α推论4 A x =lim ，c 为常数 ⇒ cA x c cx ==lim lim推论5 A x =lim ⇒nnnA x x ==)(lim lim ，nnnA x x 111)(lim lim == (0>A )，+∈Z n 。

定理2.15 若：A x =lim ，0lim ≠=B y ⇒BA y x y x ==lim lim lim 。

例1 求：)123(lim 21+-→x x x 。

解 2112131lim 2lim 3)123(lim 212121=+⨯-⨯=+-=+-→→→x x x x x x x注 若：)(x f 是一多项式，则：)()(lim 00x f x f x x =→。

例2 求：若：)(x f 是1352lim 22+-+→x x x x 。

解 75)13(lim )52(lim 1352lim 22222=+-+=+-+→→→x x x x x x x x x注 若：0)(,)()()(0≠=x p x p x q x f )(),(x q x p 是多项式，则：==→→)()(lim )(lim 00x p x q x f x x x x=)()()(lim )(lim 0000x p x q x p x q x x x x =→→。

例3 研究：45lim22-→x xx解 Θ 054lim 22=-→x x x ，∴ ∞=-→45lim 22x xx 。

例4 求：93lim 23--→x x x 。

解 )3)(3(3lim 93lim 323+--=--→→x x x x x x x 31lim 3+=→x x 61=例5 求：42lim 4--→x x x 。

(41)解 42lim4--→x x x )2)(2(2lim 4+--=→x x x x 4121lim 4=+=→x x 例6 求：xx x 11lim 0-+→。

解x x x 11lim-+→)11()11)(11(lim0++++-+=→x x x x x )11(lim 0++=→x x x x 21111lim 0=++=→x x例7 求：22321lim 4---+→x x x 。

解 22321lim4---+→x x x )321)(4()22)(82(lim 4++-+--=→x x x x x 322)321()22(2lim 4=+++-=→x x x 例8 求：13124lim 423+-+∞→x x x x 。

解 13124lim423+-+∞→x x x x 03013124lim 442==+-+=∞→xx x x x 例9 求：xx x x 7812lim 22++∞→。

解 x x x x 7812lim 22++∞→417812lim 2=++=∞→xx x 注⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++++----∞→mn m n m n b a b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x ,,0,lim 011101110ΛΛ(j i b a b a ,,0,000≠≠是常数，且： n i ,,2,1,0Λ=，m j ,,2,1,0Λ=)。

例10 已知：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-==0,1130,1)(32x x x x x x x f y ，研究：)(lim 0x f x →，)(lim x f x +∞→，)(lim x f x -∞→。

解 Θ 1)1(lim )(lim 00-=-=→→-x x f x x ，1113lim )(lim 3200-=+-+=→→+x x x x f x x ，∴1)(lim 0-=→x f x ；又：=+∞→)(lim x f x 0113lim32=+-+∞→x x x x ；=-∞→)(lim x f x -∞=--∞→)1(lim x x 。

例11 求：)1(lim 2x x x x -++∞→解 211lim)1(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x 。

例12 求：)11(lim 22--+∞→x x x解 )11(lim 22--+∞→x x x =11)1(1lim2222-++--+∞→x x x x x =112lim22-++=∞→x x x ==011112lim22=-++∞→x x x x 。

Ⅴ 小结与提问:1. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的主要内容：两个定义，三个定理，一个推论； 几点注意：五点注意。

2.无穷小的阶意义：同一过程的无穷小的比较，比较趋于零的快慢； 应用：等价无穷小在求极限中有非常巧妙的应用。