第三节群表示的基及群的表示一、基本概念基（Base）：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。

基可以有各种类型，如矢量（x，y，z），波函数（p x，p y，p z）群的表示（Representation）：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。

* 群的表示不是唯一的，一个群原则上有无限多种表示。

二、群的表示（可约与不可约表示）1、可约表示（Reducible Representation）1）定理：设一组矩阵（E，A，B，C…）构成一个群的表示。

若对每个矩阵进行同样的相似变换：E´=X-1EXA´=X-1AXB´=X-1BX…………..则（E´，A´，B´……）也是群的一个表示。

证明（封闭性）：若AB = CA´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX= X-1(AB)X = X-1CX = C´2）可约表示：若能找到矩阵X可把(A、B、C…)变换成(A´、B´、C´…), 而(A´、B´、C´…)分别为划分为方块因子的矩阵。

a13a23 a31a32a n1a1n a2na n2a3n a n3a11a12a21a22a33a nnb13b23b31b32b n1b1nb2nb n2b3nb n3b11b12b21b22b33b nnc13c23 c31c32c n1c1n c2nc n2c3n c n3c11c12c21c22c33c nn相似变换00若每个矩阵A´，B´，C ´, … 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘： A 1´B 1´=C 1´ A 2´B 2´=C 2´ A 3´B 3´=C 3´………..a13a23 a31a32a n1a1n a2na n2a3n a n3a11a12a21a22a33a nnb13b23b31b32b n1b1nb2nb n2b3nb n3b11b12b21b22b33b nnc13c23 c31c32c n1c1n c2nc n2c3n c n3c11c12c21c22c33c nn0 00 0…………………. ………..因此各组矩阵E1´，A1´，B1´，C1´, …E2´，A2´，B2´，C2´, ……………………….本身都是一个群的表示。

因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。

因此我们称（E，A，B，C, …）为可约表示。

2、不可约表示（Irreducible Representation）若找不到矩阵X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。

不可约表示具有特殊的重要性。

三、广义正交定理（great orthogonality theorem）1、向量的正交1）向量及其标积。

向量的定义：向量标积：ABA·B = A·Bcosθ2）向量正交若A·B = 0，则称A与B正交。

* p维空间中的一个向量可借助于它在该空间中的p个正交轴上的投影来定义。

以三维空间为例：xyzA 1AA 3A 2A 1A 2A 3A = A 1 + A 2 + A 3A = A 1i + A 2j + A 3kA 3 = A 3kA 1 = A 1i A 2 = A 2j j = 0i i = 1i j j = 1k k = 1k = 0i k = 0j O据此可提出向量标积的一个等价但更为有用的表示方法，在p 维正交空间中：A ·B =(A 1+A 2+…+Ap )·(B 1+B 2+…+Bp )= A 1B 1+A 2B 2+ … +ApBp∑==p1i ii B A因此在p 维空间中两个向量的正交可表示为：∑==p1i iiBAA B = A Bcos θ = 0推论：一个向量的长度平方可写成A 2= A ·Acos0 = A ·A∑==p1i 2iA2、广义正交定理（great orthogonality theorem有关构成群的不可约表示矩阵元的基本定理）1）广义正交定理：h ~ 群的阶；l i ~ 该群第i个不可约表示的维数，也是该表示中矩阵的阶；R ~ 群中的某个操作；Γi(R)mn ~ 在第i个不可约表示中，与操作R 对应的矩阵中第m 行和第n 列的元素。

最后，每逢包括虚数和复数时，等式左端的一个因子取复共轭。

nn'mm'ij Rj i *n'm'j mn i δδδl l h ](R)][Γ(R)[Γ∑=δ0（s ≠t ） = 1（s=t ）stG.......a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33x11x12 x21x22y11y12y21y22z11z12z21z22R1R2R3ΓiΓj向量1的分量：a11, b11, c11, ……向量2的分量：a22, b22, c22, ……向量3的分量：x11, y11, z11, ……向量4的分量：x21, y21, z21, ……在一组不可约表示矩阵中，若将任意一组来自每个矩阵的对应矩阵元，看作是h 维空间中的某一向量的分量，则所有这些向量都相互正交，且这些向量长度的平方为(h/l i )。

∑=Ri *mn i mn i l h ](R)][Γ(R)[Γ2）广义正交定理的特殊形式广义正交定理可以简化为三个较简单的情况:A 、若i ≠j ，则∑=R*n'm'j mn i 0](R)][Γ(R)[Γ表明，选自不同不可约表示的向量是正交的。

B 、若i=j ，且m ≠m´，或n ≠n´，或同时m ≠m´，n ≠n´∑=R*n'm'i mni](R)][Γ(R)[Γ表明，选自同一不可约表示的不同向量也是正交的。

C 、若i=j ，m=m´，n=n´，则∑=Ri *mni mn i l h](R)][Γ(R)[Γ表明，任意一个这种向量的长度平方等于h/l i 。

四、可约表示的约化及表示的直积1、不等价不可约表示1）等价表示（equivalent representation）：在点群的表示中，如果有两个表示，它们关于任何同一对称操作的两个表示矩阵A和B 是共轭的，即存在一个方阵X，使X-1AX = B 成立，则这两个表示是等价的。

Ga11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R1R2R3x11x13 x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33x12 x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32共轭共轭共轭.......等价Γ1Γ2* 一个表示中各矩阵的迹称为该表示的特征标（character）。

R 1R 2R 3.......x11x12x21x22y11y12y21z11z12z21χ2iχ3i矩阵群特征标点群y22z22χ1i两个等价表示关于任何同一对称操作的两个表示矩阵A 和B 的特征标相同。

Ga11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3x11x13x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33x12x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32χ1χ2χ3等价........Γ1Γ22）不等价不可约表示：如果两个不可约表示，它们每个对称操作的两个特征标不完全相等时，则这两个不可约表示是不等价不可约表示。

Ga11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3χ1iχ2iχ3ix11x13x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33χ2jχ1jχ3jx12x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32.......不等价Γ1Γ2χ1i χ2iχ3i χ2jχ1jχ3j......至少有一对不相等2、群表示的几条重要性质1）群的不等价不可约表示的数目，等于群中类的数目。

2）群的不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶。

∑=++=i22212i h ...l l l3）每个群均有一个特征标均为1的一维不可约表示，叫“完全对称表示”。

4) 任一不可约表示的特征标的平方和等于群的阶。

∑=R2ih (R)][χG.......a11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3χ1χ2χ3Γ15）以两个不等价不可约表示的特征标作为分量的向量是正交的。

∑≠=Rji j)(i 0(R)(R)χχG.......a11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33x11x12x21x22y11y12y21y22z11z12z21z22R 1R 2R 3χ2jχ1jχ1iχ2iχ3iΓiΓjχ3j6）在一个给定表示中，所有属于同一类操作矩阵的特征标相等。

R1R2R3 Ga11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13 b21b22b23 b31b32b33χ1χ2c11c13c31c33d11d31χ3c12c32d21 c21c22c23Γ13、不可约表示特征标的求法。

例：C3V群{E，C3，C32，σv, σv´, σv´´}, 分为三类{E，2C3，3σv}由性质1）：有三个不等价不可约表示。