福建省长泰一中高考数学一轮复习《二项式定理》学案

1::1kknnCCnkk

3．二项式定理主要有以下应用

①近似计算

②解决有关整除或求余数问题

③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）

注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题

④ 杨辉三角形

例1. (1) （18湖南理11）若(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是 ．

(2) （18湖北文8）在243)1(xx的展开式中，x的幂指数是整数的有 项．

(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中x2项的系数为 ．

解：（1）－2 （2）5项 （3）35

变式训练1：若多项式)1()1()110109910102(xaxaxaaxx, 则a9( )

A、9 B、10 C、－9 D、－10

解：根据左边x10的系数为1,易知110a，左边x9的系数为0,右边x9的系数为0109910109aCaa,∴109a 故选D。

例2. 已知f(x)＝(1+x)m+(1+x)n，其中m、n∈N展开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x3项的系数取得最小值？最小值是多少？

由题意111111nmCCnm，则含x3项的系数为)2)(1(6133nnnCCnm＋ 典型例题 基础过关

整理得05052nn

即解方程(n－10)(n＋5)＝0

则只有n=10适合题意.由)(2220101ixxCTrrrrn,

当 02220rr 时,有r=8,

故常数项为CiC2108810)(=45 故选D

例3. 若,,......)21(2004200422102004Rxxaxaxaax求（10aa）+（20aa）+……+（20040aa）

解：对于式子：,,......)21(2004200422102004Rxxaxaxaax

令x=0，便得到：0a=1

令x=1，得到2004210......aaaa=1

又原式：（10aa）+（20aa）+……+（20040aa）

=)......(2003)......(2004200421002004210aaaaaaaaa

∴原式：（10aa）+（20aa）+……+（20040aa）=2018

注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系

变式训练3：若323012323xaaxaxax，则

220213aaaa的值是 （ ）

A．1 B．1

C．0 D．2

解：A

令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1

(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为rnrC218,rrC28,1182rrC,

若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：

rnrC218≤rrC28 并且1182rrC ≤rrC28，解得5≤r≤6；

所以系数最大的项为T7=1792111x；二项式系数最大的项为T5=112061x

变式训练4：①已知(231xx)n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项.

②求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2项的系数.

解：221111)11(nCnCnnnn

21111nCnCnnnn

221111)11(nCnCnnnn

222)1(111nnnnCnn

nnnnnn12)2)(1(

31212

2212121n32132111nn

1．注意(a＋b)n及(a－b)n展开式中，通项公式分别为1rnrrrnTCab及11rrnrrrnTCab这里0rn且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题．

2．二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．

3．应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展开式中各项的取舍．

4．求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数小结归纳 的倍数加1或减1．通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧．