面积为 S′＝12·22·S＝ 42S，可以得出一个平面图形的面积 S 与它
的直观图的面积 S′之间的关系是 S′＝ 42S，本题中直观图的 面积为 a2，所以原平面四边形的面积 S＝ a22＝2 2a2.
4
(2)(2014·山东潍坊一模)等腰梯形 ABCD，上底 CD＝1，腰 AD＝CB＝ 2，下底 AB＝3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二 测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为________．
②画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的 z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线 段，在直观图中仍平行于z′轴且长度________.
[答案] 1.相等 互相平行 相同 互相平行 公共顶点 平行 形状相同 等比例缩放
2．矩形 一条直角边 平行 直径 3．正投影 正视图 侧视图 俯视图 长对正 高平齐 宽相等 斜二测 已知 45°(或 135°) 不变 原来的一半 不变
[解析] 当正方体的俯视图是Fra bibliotek积为 1 的正方形时，其正视 图的最小面积为 1，最大面积为 2.因为 22－1<1，因此所给选项 中其正视图的面积不可能为 22－1，故选 C.
考点三：空间几何体直观图的讲算技巧
[调研 3] (1)(2014·济南模拟)一个平面四边形的斜二测画法
的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形的面积等于
错解档案：三视图的易错点 [典例 1] (2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角 坐标系 O－xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)， 画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到 的正视图可以为( )
[答案] A
[解析] 设 O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以 O， A，B，C 为顶点的四面体补成一正方体后，由于 OA⊥BC，所以 该几何体以 zOx 平面为投影面的正视图为 A.
2．简单几何体的识图规律一般为正视图和侧视图的形状确 定原几何体为柱体、锥体还是台体；俯视图确定原几何体为多面 体还是旋转体．
(2013·湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1
的正方形，则该正方体正视图的面积不可能等于( )
A．1
B. 2
2－1 C. 2
2＋1 D. 2
[答案] C
④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四
棱柱为直四棱柱；
⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；
⑥棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的序号是( )
A．①②③④
B．②③④⑤
C．③④⑤⑥
D．①②③④⑤⑥
[解题指导] 根据棱柱、棱锥、棱台的定义或借助几何体的 模型逐一判断求解．
[答案] C
B. 200＋18π D. 140＋18π
[答案] A
[解析]该几何体的直观图是由一个长方体和圆柱的一半所 组成的(如图)．其中长方体的长、宽、高分别为 10,4,5，圆柱的 底面半径为 3，高为 2.从而该几何体的体积 V＝10×5×4＋12 π×32×2＝200＋9π，故选 A.
(2)(2014·甘肃西宁二模)将长方体截去一个四棱锥，得到的几 何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
在________图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，
画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点
直 观 图
O′，且使∠x′O′y′＝________，已知图形中平行x轴、y 轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于 x轴的线段，在直观图中长度________，平行于y轴的线段，长 度变为________．
[答案] 1.(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．(1)× (2)× (3)√ 3.(1)× (2)×
考点一：空间几何体结构特征的剖析
[调研 1] (1)给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱 台； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂 直；
2．对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面 上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图 形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和 棱用实线表示，挡住的线要画成虚线． (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正 前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．
∵O′C′＝2，∴OE＝4 2， ∴S▱OABC＝6×4 2＝24 2.
1．正棱柱与正棱锥 (1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中 “正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形． (2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的 中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：① 顶点在底面上的射影必须是底面正多边形的中心；②底面是正多 边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
第二节 空间几何体的面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面积 公式
S 圆柱侧＝______
S 圆锥侧＝_______
S 圆台侧＝______
2.空间几何体的表面积和体积公式
名称 几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝________
第一节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
1．简单多面体
多面体
结构特征
棱柱的侧棱都________且________， 棱柱 上下底面是________且________的
多边形．
棱锥
棱锥的底面是任意多边形，侧面是 有一个________的三角形．
棱台可由________于棱锥底面的平 棱台 面截棱锥得到，其上下底面是
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“ ”)． 1．对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识 (1)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱 锥．( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之 间的部分．( ) (4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱 柱．( )
下列说法正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一 周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能 是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
[答案] D [解析] A 错误．如 A 图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥 叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但它不是三棱 锥．B 错误．如 B 图(1)，B 图(2)，无论△ABC 是不是直角三角 形，如果旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
[解题指导] 由条件所给的左视图进行判断、逐个验证，利 用排除法解决此类问题．
[答案] C
[解析] 左视图是从图形的左边向右边看，看到一个长方形 的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线， 故选 C.
1．简单几何体的三视图的画法应从以下几个方面加以把握： (1)搞清主视、左视、俯视的方向，同一物体由于放置的位 置不同，所画的三视图可能不同． (2)看清简单组合体是由哪几个基本元素组成． (3)画三视图时要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则， 还要注意几何体中与投影垂直或平行的线段及面的位置关系．
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
(2014·河北石家庄二模)如图，矩形 O′A′B′C′是水平放 置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6，O′C′＝2，则 原图形 OABC 的面积为________．
[答案] 24 2
[解析] 由题意知，原图形 OABC 是平行四边形，且 OA＝ BC＝6，设平行四边形 OABC 的高为 OE，则 OE×12× 22＝ O′C′，
球
球可以由半圆或圆绕________所在直线 旋转得到.
3.三视图与直观图
三 空间几何体的三视图是用________得到的，它包括________、 视 ________、________，其画法规则是：________，________， 图 ________.
空间几何体的直观图常用_______画法规则来画，基本步骤是： ①画几何体的底面
[解析] ①错误，因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边 形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台； ③正确，根据面面垂直的判定定理判断；④正确，因为两个过相 对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图 所示，正方体 AC1 中的三棱锥 C1－ABC，四个面都是直角三角形； ⑥正确，由棱台的概念可知，因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.
________且________的多边形.
2.简单旋转体
旋转体
结构特征
圆柱
圆柱可由________绕其任意一边所在直 线旋转得到．
圆锥
圆锥可以由直角三角形绕其________所 在直线旋转得到．
圆台
圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线
或等腰梯形绕上下底中点连线所在直线 旋转得到，也可由________于圆锥底面 的平面截圆锥得到．
C 错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六 边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，则侧棱长必然要大 于底面边长．D 正确．故选 D.
考点二：空间几何体的三视图 [调研 2] (1)(2013·江西)一几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为( )
A. 200＋9π C. 140＋9π
(2)给出下列命题：