1.性能指标按其数学形式可分为如下三类：
1)积分型性能指标
L[x(),(),]f
t t J t u t t dt =⎰拉格朗日问题。
2）终值型性能指标
[x(),]f f J t t ϕ=
这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，而对于整个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。
这样的最优控制问题为迈耶尔问题。
3）复合型性能指标
[x(),]L[x(),(),]f
t f f t J t t t u t t dt ϕ=+⎰
这样的最优控制问题为波尔扎问题。
通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。
2.按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：
1：最小时间控制
01f
t f t J t t dt =-=⋅⎰
2：最小燃料消耗控制
|()|f
t t J u t dt =⎰控制量u(t)与燃料消耗量成正比
3：最小能量控制
2()f
t t J u t dt =⎰控制函数u 2(t)与所消耗的功率成正比
3. J(x)取极小值的充分条件
为正定(>=0) ，反之则极大
4. J(x)取极值的必要条件为：
欧拉方程0L
d L x
dt
x
∂∂∂∂-=
横截条件
5. t 0和t f 给定，x(t 0) 或x(t f )未给定时横截条件：
（1）给定x(t 0) 或x(t f )
222
222L L x x
x L L x x
x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
横截条件为：x(t 0)=x 0或x(t f )=x f (2)自由x(t 0) 或x(t f )
00L t x
∂∂= 或
0f L
t x
∂∂= 那个自由（为给定），那个偏导为0.
6. 始端时刻t 0给定， x(t 0)固定或约束；而终端时刻t f 自由，终端状态x(t f )自由或约束,x(t)不受任何方程约束时的横截条件：
7.当x(t)受状态方程约束时，设系统状态方程：(,,)x f x u t = 性能指标：0
[(),](,,)f
t f f t J x t t F x u t dt ϕ=+⎰
满足极值所需条件： H=L+T λ f
（1）欧拉方程(伴随方程) H x
λ
∂=-∂ （2）状态方程H x
λ
∂=∂ （3）控制方程
0H
u
∂=∂ （4）横截条件：
初始时刻t 0及始端状态x(t 0)给定
t f 自由
终端x(t f )自由或者约束 ； 若x(t f )自由则无N 方程，若x(t f )固定则无()f t λ方程
8. 极小值原理
设系统的状态方程为
()[(),(),]x
t f x t u t t = 控制u(t)满足不等式约束: [(),(),]0G x t u t t ≥ 末端约束：[(),]0f
f N x t t =
f
()()[
f
f t t N H t t ϕμ=∂+=-∂()
()[t f f t f N t x ϕμλ∂+=∂（）
性能指标：0
[(),]L [(),(),]f
t f f t J x t t x t u t t dt ϕ=+
⎰
求解过程：
(1).沿最优轨线满足正则方程
()T H x
H G x x λ
λ
∂=∂∂∂=--Γ∂∂
(2)横截条件及边界条件:
(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H 函数取绝对极小值,即：
9.
设离散系统的状态方程为:
)1,,2,1,0(]),(),([)1(-==+N k k k u k x f k x
k 表示时刻t k ,终端时刻t f =t N .设初始状态x(0)=0,终端时刻t N 给定,终端状态x(N)自由.系统性能指标为: ∑-=+
=1
]),(),([]),([N k k k u k x L N N x J ϕ
要求寻找最优控制u*(k),使性能指标J 为极小. 求解过程：
（1）列出哈密顿函数
)
1,,2,1,0(]),(),([)1(]
),(),([]),1(),(),([-=++=+N k k k u k x f k k k u k x L k k k u k x H T
λλ
（2）正则方程
1
,,2,1,0,)
1(]
),1(),(),([)1(1
,,2,1,0,)
(]
),1(),(),([)(-=+∂+∂=+-=∂+∂=
N k k k k k u k x H k x N k k x k k k u k x H k λλλλ
（3）边界条件与横截条件:
)
(]
),([)(0)0(N x N N x N x ∂∂=
=ϕλ
（4）控制方程:
00
(()[]([(,,,)]0
()[(),]0f f f
t t t t f f N t x
N H x u t t x t x N x t t ϕμλϕμλ==∂+=∂∂++=∂==）
）
*****(,,,)(,,,)H x u t H x u t λλ≤()T
H G u u ∂∂=-Γ∂∂无这个方程
1,,2,1,0,0)
(]
),1(),(),([-==∂+∂N k k u k k k u k x H λ
当u(k)有不等式约束时
]),1(),(),([min ]),1(),(),([**)(***k k k u k x H k k k u k x H k u +=+Ω
∈λλ。