高等数学基本公式、概念和方法一．函数1．函数定义域由以下几点确定（１）0)(;)(1≠=x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数） （３）0)(:)(log >=x f x f y a 。
（４）1)(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y（５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．（６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．（１） 若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数． （２） 若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2==等。
若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3)===３． 将函数分解成几个简单函数的合成．由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．二．极限与连续1．主要概念和计算方法：（１）．A x f x f A x f xx xx x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0（２）．若0)(lim 0=→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。
（3）．若)()(lim 00x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。
即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。
若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。
（4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。
若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。
（5）．重要公式：条件0)(lim =x ϕ（极限过程不限）结论《１》1)()(sin lim =x x ϕϕ；《２》e x x =+)(1)](1lim[ϕϕ2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）（１） 定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。
（２）不定式：（Ａ）00型：消去零因子或用公式《１》。
（Ｂ）∞∞型：约去∞因子，使之变成定式。
（Ｃ）∞1型：用公式《２》。
（Ｄ）∞⋅0型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。
（Ｅ）∞-∞型：通分或有理化，使之转化成其它类型。
注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。
但要满足条件。
三．导数（一）基本概念1．导数值：000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→，也可以记作0);(0x x dxdyx y ='。
2．导数的几何意义：)(0x f '就是曲线)(x f y =在点),(00y x 处切线的斜率k ，其切线的方程是：))((000x x x f y y -'=-，法线方程：)()(1000x x x f y y -'-=-。
３． 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。
（二）．导数基本公式： 1．0)(='c 2。
1)(-='αααxx 3。
a a a x x ln )(=' 4。
xx e e =')( 5。
xx 1)(ln =' 6．x x cos )(sin =' 7。
x x sin )(cos -=' 8。
x x 2sec )(tan =' 9。
x x 2csc )(cot -=' 10．211)(arcsin x x -=' 11。
211)(arccos x x --=' 12。
211)(arctan xx +=' 13．211)cot (x x arc +-='（三）微分法（设u 和v 都是x 的函数）1．用定义求导数或导函数。
2．v u v u '±'='±)(3．v u v u uv '+'=')(；u c cu '=')( 4．2)(v v u v u v u '-'=' 5．设复合函数)(),(x u u f y ϕ==，则x u u f y '='6．设)(x f y =由隐函数0).(=y x F 确定，则yXF F y ''-='，也可以直接对方程求导数。
7．对于单项式可以用取对数法求导数。
对于幂指函数必须用取对数法求导数。
8．设参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ，则)()(t x t y y t t ''='9．微分：dx y dy '= 10．反函数的导数：yx x y '='1 附：函数在一点处几个概念之间的关系图四．中值定理与导数应用 1．拉格朗日中值定理：条件：函数)(x f 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导 结论：至少存在一点ab a f b f f b a --='∈)()()(),(ξξ使。
４． 洛必塔法则适用于∞∞和00型极限，注意四种失效题型： 3．单调性：若)(x f y =在（a,b ）内)(0)(x f x f ⇒>'在（a,b ）内单调递增。
若)(x f y =在（a,b ）内0)(<'x f )(x f ⇒在（a,b ）内单调递减。
a) 极值存在的必要条件：若0)()(00='⇒=x f x x f y 处可导且取极值在（0x 为驻点） b) 极值存在的充分条件：设函数在a 点连续，则： 在a 点左右函数的导数由正变负⇒a 点为函数的极大值点。
在a 点左右函数的导数由负变正⇒a 点为函数的极小值点。
c) 判断曲线凹凸的方法：若在(a,b)内)(x f ''>0，则曲线)(x f y =在（a,b ）内上凹。
如xe y x y ==...2等。
若在(a,b)内)(x f ''<0，则曲线)(x f y =在（a,b ）内下凹。
如x y xy ln (1)==等。
４．曲线拐点的求法：设a 为函数)(x f y =的连续点，若函数)(x f y =在a 点处二阶导数变号，则曲线上的点 （a,f(a)）为曲线的拐点。
５． 求渐近线的方法：若∞=→)(lim x f ax ，则x=a 为曲线)(x f y =的垂直渐近线。
若b x f x =∞→)(lim ，则y=b 为曲线)(x f y =的水平渐近线。
６．极值应用： i. 画图、设变量x ，并将其余变量用x 表示。
ii. 建立函数关系，并写出定义域。
iii. 求函数的一阶导数，找出驻点。
iv. 说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。
五．不定积分1． 原函数：在某区间内，若在任一点处均有)()(x f x F ='，则称F （x ）是)(x f 的一个原函数。
2． 若)(x f 有原函数F （x ），则F （x ）+C 表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。
3． 若)(x f 有原函数F （x ），则)(x f 的不定积分可表示为⎰+=C x F dx x f )()(。
4． 不定积分的几何意义⎰+=C x F dx x f )()(表示在x 点处切线斜率均为)(x f 的一族曲线。
5． 基本积分公式（1）)1.(111-≠++=+⎰ααααC x dx x （2）C x dx x+=⎰ln 1（3）)1,0.(ln 1≠>+=⎰a a C a adx a xx （4）C e dx e x x +=⎰（5）⎰+-=C x xdx cos sin （6）⎰+=C x xdx sin cos （7）C x xdx +=⎰tan sec 2 （8）C x xdx +-=⎰cot csc 2（9）C a x dx x a +=-⎰arcsin122 （10）C a x a dx xa +=+⎰arctan 1122 （11）C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec （12）C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc(13)C ax a x a dx a x ++-=-⎰ln 21122 （14）C a x x dx a x +±+=±⎰2222ln 1 6. 积分性质（1）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( （2）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([（3）⎰=')(])([x f dx x f （4）⎰+='C x f dx x f )()(7．计算方法（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。
（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换)()(x x d dx φφ'=设)(x u φ=的导数连续，则⎰⎰='du u f dx x x f )()()]([φφ。
（３） 第二换元法：主要是消去被积函数中的2222,x a a x -±等因子，见P286。
（４）分部积分法：⎰⎰⎰⎰-='-='vdu uv udv vdx u uv dx v u 或，要用算式。
选u 的顺序：反、对、幂、三、指、常。
（５） 简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。
六．定积分1．定积分特点：（1） 定积分是一个数，与积分变量无关。
（2） 被积函数连续是可积的充分条件。
（3） 被积函数有界是可积的必要条件。
2． 定积分的几何意义（1） 设0)(≥x f ，则⎰ba dx x f )(表示由曲线)(x f y =直线y=0;x=a;x=b 所围成的曲边梯形面积。
（2） 设0)(≤x f ，则⎰badx x f )(表示由曲线)(x f y =直线y=0;x=a;x=b 所围成的曲边梯形的负面积。
（3） 若)(x f y =的符号不定，则⎰badx x f )(表示面积的代数和。
由此得到对称区间上的奇函数积分为0，即0)(=⎰-aadx x f ，其中函数)(x f 是奇函数。
3． 主要性质（1）⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(。
（2）⎰⎰⎰±=±bababa dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。