LMI在飞行控制中的应用
摘要：针对某飞机的飞行控制，本文采用含有区域极点配置的H x H∞混合控制方法进行了研究。
首先简述飞机控制系统的建模方法，并以飞机纵向运动为例，建立了飞机的模型；然后利用Lyapunov稳定性理论和矩阵Schur补性质，将区域极点配置和H2H∞控制约束条件转化为LMI凸优化问题，设计了含有区域极点配置和H2 H∞混合控制状态反馈鲁控制器。
1.1飞机运动方程
完整的六自由度、非线性、刚体飞机运动可由如下九个放成描述：
(1-1) 其中Q为阻力, Y为侧力,α为飞机迎角,β为侧滑角，T为发动机推力，M为飞机质量。
(1-2) 其中V为飞行速度,γ为航迹倾角,u为航机偏角,
(1-3) 其中L为升力
(1-4) p、q、r为机体轴的滚动、俯仰、偏航角速度。
(1-5)
(1-6)
(1-7) I为刚体各向转动惯量m t , n t为飞机推力产生的俯仰、偏航转矩
(1-8)
(1-9)
做如下假设，并将1-1至1-9的飞机运动方程线性化：
(1)飞机是刚体，略去弹性影响，并略去大气不稳定性影响。
(2)假定飞机运动在小范围内，横侧与纵向小扰动量、气动力和力矩不互相影响。
(3)基准运动是对称运动，并且是定常直线运动。
(4)忽略发动机引起的陀螺力矩造成的影响，m T,n T为0；
在这些条件下，飞行纵向运动的状态方程可以得到如下：
(1-10)
用x T=[V a q θ]表示状态变量，用u T=[δeδt]表示输入向量，V为飞机运动速度，α为飞机迎角，q为俯仰角速度，θ为俯仰角，δe为升降舵偏角，δt为油门开度。
用A B表示系数矩阵，则1-10又可表示为：
(1-11)
2. H2 H∞混合控制的LMI方法
如图所示的H2H∞混合标准控制系统，w为外部输入，z∞与z2分别表示与H∞指标，H2指标相关的输出信号，u是控制输入信号，y为测量输出信号。
K为控制器。
引入H2 H∞控制,广义被控对象的状态空间描述为
H2 H∞混合控制问题就是设计反馈控制器，满足如下
(1)闭环极点落于LMI区域D
(2)闭环函数阵||G z∞w||≤λ；
(3)闭环函数阵G z2w满足min||G z2w||
则此控制器称作H2 H∞混合最优控制器
对于问题(2)，可转化为：当有且仅有一个W矩阵，和一个正定矩阵X使得下式成立
对于问题(3)，可转化为：当有且仅有一个W矩阵，和一个对称矩阵X、Z使得下式成立
3.利用Matlab的LMI工具箱进行飞行控制器设计
假定飞机运动参数给定如下：
在matlab上实现上述计算，可以使用msfsyn很方便的求解。
msfsyn专门用于计算多目标状态反馈控制。
用法为：[GOPT,H2OPT,K,Pcl,X] = MSFSYN(P,R,OBJ,REGION,TOL)
输入参数中的P是系统矩阵。
R为2x1矩阵，R(1)表示z2维数，R(2)表示控制输入u的维数。
OBJ4x1矩阵表示设计目标OBJ(1)为||G Z∞+||上界，OBJ(2)为H2范数上界。
OBJ(3,4)为H2、H∞的权重。
输出中，GOPT H2OPT分别为H2、H∞的性能指标，K是所求的状态反馈增益矩阵。
Pcl是闭环传函，X 是Lyapunov矩阵。
构建系统矩阵PP = ltisys(A,[B1 B2],[Ci;C2;Cy],[Di1 Di2;D21 D22;Dy1 Dy2]);
使用LMIREG函数构建LMI区域D ，为实轴上坐标为-1.3，半径为1.2的圆域，结果如下
调用[GOPT,H2OPT,K,Pcl,X] = msfsyn(PP,[4,2],[0 0 1 1],region)得到结果如下：
Result: feasible solution of required accuracy
best objective value: 112.951538
guaranteed relative accuracy: 9.50e-003
f-radius saturation: 0.000% of R = 1.00e+010
Guaranteed Hinf performance: 4.68e+000
Guaranteed H2 performance: 9.54e+000
GOPT = 4.6833
H2OPT = 9.5404
K =
0.0331 -0.9109 0.3162 -0.0526
-1.7877 1.0666 0.0977 -0.3701
X =
1.1694 1.8595 -5.4819 1.9661
1.8595 5.7316 -15.8753 8.9807
-5.4819 -15.8753 67.0163 -27.5170
1.9661 8.9807 -27.5170 16.9313
采用含区域极点配置约束的H2H∞混合控制方法设计的控制器，有效解决了H2控制动态性能好但鲁棒性和抗干扰性较差，而H∞控制具有较好的鲁棒性和抗干扰性但是动态性能不理想等问题，综合了区域极点配置和H2H∞混合控制的优点，使设计出的系统既能满足飞行品质的要求，也能满足鲁棒性的要求，而且对干扰信号具有较强的抑制能力，具有较理想的设计效果，由此验证了该设计方法的有效性和实用性.。