高中数学《排列组合》教案设计【教案目标】1.知识目标（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。

2.能力目标认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主要矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，并要注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。

3．德育目标（1）用联系的观点看问题；（2）认识事物在一定条件下的相互转化；（3）解决问题能抓住问题的本质。

【教案重点】：排列数与组合数公式的应用【教案难点】：解题思路的分析【教案策略】：以学生自主探究为主，教师在必要时给予指导和提示，学生的学习活动采用自主探索和小组协作讨论相结合的方法。

【媒体选用】：学生在计算机网络教室通过专题学习网站，利用网络资源（如在线测度等）进行自主探索和研究。

【教案过程】一、知识要点精析（一）基本原理1。

分类计数原理2。

分步计数原理3。

两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关即“联斥性”：（1）对于加法原理有以下三点：①“斥”——互斥独立事件；②模式：“做事”——“分类”——“加法”③关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。

（2）对于乘法原理有以下三点：①“联”——相依事件；②模式：“做事”——“分步”——“乘法”③关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。

（二）排列1.排列定义2.排列数定义3.排列数公式（三）组合1.组合定义2.组合数定义3.组合数公式4.组合数的两个性质（四）排列与组合的应用1。

排列的应用问题（1）无限制条件的简单排列应用问题，可直接用公式求解。

（2）有限制条件的排列问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

2.组合的应用问题（1）无限制条件的简单组合应用问题，可直接用公式求解。

（2）有限制条件的组合问题，可根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”求解。

3.排列、组合的综合问题排列组合的综合问题，主要是排列组合的混合题，解题的思路是先解决组合问题，然后再讨论排列问题。

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：（1）限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“相邻”与“不相邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”，可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法。

②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。

③“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。

（2）限制条件的组合问题常见命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。

（3）在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重复，不遗漏按事件的发生过程分类、分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。

4、解题步骤：（1）认真审题（2）列式并计算（3）作答二、学习过程题型一：排列应用题9 名同学站成一排：（分别用 A，B，C 等作代号）（1）如果 A 必站在中间，有多少种排法？（答案：）（2）如果 A 不能站在中间，有多少种排法？（答案：）（3）如果 A 必须站在排头，B 必须站在排尾，有多少种排法？（答案：）（4）如果 A 不能在排头，B 不能在排尾，有多少种排法？（答案：）（5）如果 A，B 必须排在两端，有多少种排法？（答案：）（6）如果 A，B 不能排在两端，有多少种排法？（答案：）（7）如果A，B 必须在一起，有多少种排法？（答案：）（8）如果A，B 必须不在一起，有多少种排法？（答案：）（9）如果 A，B，C 顺序固定，有多少种排法？（答案：）题型二：组合应用题若从这 9 名同学中选出 3 名出席一会议（10）若 A，B 两名必在其内，有多少种选法？（答案：）（11）若A，B 两名都不在内，有多少种选法？（答案：）（12）若A，B 两名有且只有一名在内，有多少种选法？（答案：）（13）若A，B 两名中至少有一名在内，有多少种选法？（答案：或）（14）若A，B 两名中至多有一名在内，有多少种选法？（答案：或）题型三：排列与组合综合应用题若 9 名同学中男生 5 名，女生 4 名（15）若选3 名男生，2 名女生排成一排，有多少种排法？（答案：）（16）若选3 名男生2 名女生排成一排且有一男生必须在排头，有多少种排法？（答案：）（17）若选3 名男生2 名女生排成一排且某一男生必须在排头，有多少种排法？（答案：）（18）若男女生相间，有多少种排法？（答案：）题型四：分组问题6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（19）一堆一本，一堆两本，一堆三本（答案：）（20）甲得一本，乙得两本，丙得三本（答案：）（21）一人得一本，一人得两本，一人得三本（答案：）（22）平均分给甲、乙、丙三人（答案：）（23）平均分成三堆（答案：）（24）分成四堆，一堆三本，其余各一本（答案：）（25）分给三人每人至少一本。

（答案： + + ）题型五：全能与专项车间有 11 名工人，其中 5 名男工是钳工，4 名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工，4 名车工修理一台机床，有多少种选派方法？题型六：染色问题（26）梯形的两条对角线把梯形分成四部分，用五种不同颜色给这四部分涂不同颜色，且相邻的区域不同色，问有（）种不同的涂色方法？（答案：260）（27）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）。

现在栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种。

分析：先排1、2、3 排法种排法；再排4，若4 与2 同色，5 有种排法，6 有1 种排法；若 4 与2 不同色，4 只有1 种排法；若 5 与2 同色，6 有种排法；若 5 与3 同色，6 有1 种排法所以共有（ + +1）=120 种题型七：编号问题（28）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？（答案：144）（29）将数字1，2，3，4 填在标号为1，2，3，4 的四个方格里，每格填上一个数字且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？（答案：9）题型八：几何问题（30）：（Ⅰ）四面体的一个顶点为 A，从其它顶点和各棱的中点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一个平面上，有多少种不同的取法？（Ⅱ）四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，有多少种不同的取法？解：（1）（直接法）如图，含顶点 A 的四面体的 3 个面上，除点 A 外都有5 个点，从中取出 3 点必与点 A 共面共有种取法，含顶点 A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3 种取法。

根据分类计数原理，与顶点A 共面三点的取法有+3=33（种）（2）（间接法）如图，从10 个顶点中取 4 个点的取法有种，除去 4 点共面的取法种数可以得到结果。

从四面体同一个面上的6 个点取出4 点必定共面。

有=60 种，四面体的每一条棱上3 点与相对棱中点共面，共有6 种共面情况，从6 条棱的中点中取4 个点时有3 种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分）故 4 点不共面的取法为-（60+6+3）=141题型九：关于数的整除个数的性质：①被 2 整除的：个位数为偶数；②被 3 整除的：各个位数上的数字之和被 3 整除；③被 6 整除的：3 的倍数且为偶数；④被4 整除的：末两位数能被4 整除；⑤被8 整除的：末三位数能被8 整除；⑥25 的倍数：末两位数为25 的倍数；⑦5 的倍数：个位数是0，5；⑧9 的倍数：各个位数上的数字之和为9 的倍数。

（31）：用0,1，2，3，4，5 组成无重复数字的五位数，其中5 的倍数有多少个？（答案：216）题型十：隔板法：（适用于“同元”问题）（32）：把12 本相同的笔记本全部分给7 位同学，每人至少一本，有多少种分法？分析：把12 本笔记本排成一行，在它们之间有11 个空当（不含两端）插上6 块板将本子分成7 份，对应着7 名同学，不同的插法就是不同的分法，故有种。

三、在线测试卷1．以一个正方形的顶点为顶点的四面体共有（D ）个（A）70（B）64（C）60（D）582．3 名医生和6 名护士被分配到3 所所为学生体检，每校分配1 名医生和2 名护士，不同的分配方法共有（ D ）（A）90 种（B）180 种（C）270 种（D）540 种3．将组成篮球队的12 个名额分配给7 所学校，每校至少1 个名额，则不同的名额分配方法共有（ A ）（A）（B）（C）（D）4．5 本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1 本，不同分法的种数为（B ）（A）480 （B）240 （C）120 （D）965．编号为1，2，3，4，5 的五个人分别去坐在编号为1，2，3，4，5 的座位上，至多有两个号码一致的坐法种数为（ C ）（A）90 （B）105 （C）109 （D）1006．如右图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现在4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ B ）种（用数字作答）（A）48 （B）72 （C）120 （D）367.若把英语“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（A ）。

（A）19 （B）20 （C）119 （D）608.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3 分；平一场，得1 分；负一场，得0 分，一球队打完15 场，积分33 分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有（ D ）（A）6 种（B）5 种（C）4 种（D）3 种四、课后练习1．10 个不加区别的小球放入编号为1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于盒子的编数，问有种不同的放法？2.坐在一排9 个椅子上，相邻两人之间至少有2 个空椅子，则不同的坐法的种数是3.如图A，B，C，D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有种。

4.面直角坐标系中，X 轴正半轴上有5 个点，Y 轴正半轴有3 个点，将X 轴上这5 个点或Y 轴上这3 个点连成15 条线段，这15 条线段在第一象限内的交点最多有个。

5.某邮局现只有邮票0。

6 元，0。

8 元，1。

1 元的三种面值邮票，现有邮资为7。